ভেক্টর MCQ পরীক্ষা: HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র | Exam-1

দ্রুত সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় থিওরি ও শর্টকাট (Fast Track Theory)

সামান্তরিক সূত্র ও লব্ধি সংক্রান্ত (Parallelogram Law)

দুটি ভেক্টর \(P\) ও \(Q\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) হলে লব্ধি \(R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha}\)।
শর্টকাট ১ (সমমানের দুটি ভেক্টর \(P = Q = F\) হলে):
যদি \(\alpha = 0^\circ\) হয় \(\Rightarrow R_{\max} = 2F\)
যদি \(\alpha = 90^\circ\) হয় \(\Rightarrow R = \sqrt{2}F\) [প্রশ্ন ২ এর সমাধান]
যদি \(\alpha = 120^\circ\) হয় \(\Rightarrow R = F\) (লব্ধি বলের মান যেকোনো একটি বলের সমান) [প্রশ্ন ৫ ও ২৮ এর সমাধান]
যদি \(\alpha = 180^\circ\) হয় \(\Rightarrow R_{\min} = 0\)
শর্টকাট ২ (অসমমানের দুটি ভেক্টর \(P\) ও \(Q\) এর লব্ধির পরিসর):
লব্ধি \(R\)-এর মান সর্বনিম্ন \(\vert P - Q \vert\) থেকে সর্বোচ্চ \((P + Q)\) পর্যন্ত হতে পারে।
\(\vert P - Q \vert \le R \le (P + Q)\)। এর বাইরে কোনো মান লব্ধি হতে পারে না। [প্রশ্ন ২৫ এর সমাধান]

একক ভেক্টর (Unit Vectors) ও ঘূর্ণন নিয়ম

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার আয়ত একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)-এর ক্ষেত্রে:
ডট গুণন (Scalar Product):
\(\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1\)
\(\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0\) (পরস্পর লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য) [প্রশ্ন ১৪ ও ২৭ এর সমাধান]
ক্রস গুণন (Vector Product):
ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে (Counter-Clockwise Cycle):
\(\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\)
\(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\)
\(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\)
বিপরীত ক্রমে (Clockwise):
\(\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}\)
\(\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}\)
\(\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}\)
একই ভেক্টরের নিজের সাথে ক্রস গুণফল: \(\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0\) [প্রশ্ন ৪, ১৫, ১৬, ২২, ২৩ এর সমাধান]

দ্রুত সমাধানের দরকারী সূত্রাবলী

সমান্তরাল একক ভেক্টর:

(যেখানে \(\vert \vec{A} \vert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\)) [প্রশ্ন ১৮ ও ১৯ এর সমাধান]

অক্ষদ্বয়ের সাথে কোণ (Angle with Axes):

\(x\)-অক্ষের সাথে কোণ: \(\theta_x = \tan^{-1}\left(\frac{A_y}{A_x}\right)\) (দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রে) [প্রশ্ন ২০ এর সমাধান]
\(x, y, z\) অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণের জন্য: \(\cos\alpha = \frac{A_x}{\vert A \vert}\), \(\cos\beta = \frac{A_y}{\vert A \vert}\), \(\cos\gamma = \frac{A_z}{\vert A \vert}\)

বিপরীত / ঋণাত্মক ভেক্টর:

\(\vec{A}\) এর দিক বিপরীত করতে প্রতিটি উপাংশের চিহ্ন পরিবর্তন করতে হবে: \(-\vec{A} = -(A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k})\) [প্রশ্ন ১২ এর সমাধান]

বিপ্রতীপ ভেক্টর (Reciprocal Vector):

\(\vec{A} = a\hat{i}\) হলে এর বিপ্রতীপ ভেক্টর \(\vec{B} = \frac{1}{a}\hat{i}\)।
এরা একই দিকে ক্রিয়াশীল, তাই এদের মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা \(0^\circ\) [প্রশ্ন ১০ এর সমাধান]

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল:

সন্নিহিত বাহুদ্বয় \(\vec{P}\) ও \(\vec{Q}\) হলে ক্ষেত্রফল \(= \vert \vec{P} \times \vec{Q} \vert\) [প্রশ্ন ১১ এর সমাধান]