Physics 1st Paper
HSC পদার্থবিজ্ঞানের ভেক্টর অধ্যায়ের ৫০টি গুরুত্বপূর্ণ অংক এখানে ধাপে ধাপে সমাধান করা হয়েছে। অবস্থান ভেক্টর, দূরত্ব, লম্ব অভিক্ষেপ, ডট গুণন ও ক্রস গুণন, একক ভেক্টর, ত্রিভুজের কোণ ও ক্ষেত্রফল, সরলরেখা ও সমতলের সমীকরণ এবং মধ্যবিন্দু ও বিভাজনের অনুশীলন এতে আছে।
- অবস্থান ভেক্টর ও দূরত্ব (১–১০)
- ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ (১১–১৬)
- একক ভেক্টর ও দিক কোসাইন (১৭–২১)
- ডট গুণন (২২–২৯)
- ক্রস গুণন ও ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (৩০–৩६)
- সরলরেখা ও সমতল (৩৭–৪১)
- মধ্যবিন্দু ও বিভাজন (৪২–৪৬)
- ত্রিভুজের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য (৪৭–৫০)
নমুনা প্রশ্ন-১: ভেক্টরের প্রয়োগ ও সমাধান
প্রদত্ত তথ্য: মূলবিন্দু
সুতরাং, অবস্থান ভেক্টরসমূহ:
এবং বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ ভেক্টর:
প্রশ্ন ১: $\vec{ON}$ এর উপর $\vec{OM}$ এর লম্ব-অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে ডট গুণন নির্ণয় করি:
এখন
অতএব, লম্ব-অভিক্ষেপ:
প্রশ্ন ২: $\triangle OMN$ সমকোণী ত্রিভুজ কিনা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান: ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য (বা ভেক্টরের মান) নির্ণয় করি:
এখন পিথাগোরাসের উপপাদ্য পরীক্ষা করি:
কিন্তু
সিদ্ধান্ত:
প্রশ্ন ৩: $\vec{MN}$ এর সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
সমাধান: আমরা জানি, যেকোনো ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর হলো ওই ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভেক্টর।
অতএব,
প্রশ্ন ৪: $\angle MON$ এবং $\angle OMN$ এর মান সমান হবে কি? গাণিতিক ভাবে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান: ১.
২.
সিদ্ধান্ত: যেহেতু
প্রশ্ন ৫: $\vec{ON}$ , $\vec{OM}$ , $\vec{MN}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে কি না গাণিতিক ভাবে যাচাই কর।
সমাধান: তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান (Coplanar) করার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ত্রিপল প্রোডাক্ট (Scalar Triple Product) এর মান শূন্য হওয়া অর্থাৎ
মান বিস্তার করি:
সিদ্ধান্ত: যেহেতু স্কেলার ত্রিপল প্রোডাক্টের মান শূন্য, তাই ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে।
বাড়িক কাজ-১: অনুশীলনী ও সমাধান
প্রদত্ত তথ্য:
১.
২.
এখানে
৩.
৪. কোণদ্বয়ের সমতা যাচাই: একইভাবে ডট গুণন ব্যবহার করে কোণ বের করলে দেখা যাবে
৫. সমতলীয়তা যাচাই:
সুতরাং, ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে।
নমুনা প্রশ্ন-২: ৫০টি ভেক্টর সমস্যার বিস্তারিত সমাধান
প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুসমূহ:
মৌলিক ভেক্টরসমূহ:
$\vec{OA} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ $\vec{OB} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ $\vec{OC} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
১. অবস্থান ভেক্টর ও দূরত্ব (১-১০)
১. A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর: $\vec{OA} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$
২. B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর: $\vec{OB} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$
৩. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর: $\vec{OC} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
৪. $\vec{AB}$ ভেক্টর নির্ণয়: $\vec{OB} - \vec{OA} = (1-2)\hat{i} + (2-(-3))\hat{j} + (-5-4)\hat{k} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}$
৫. $\vec{BC}$ ভেক্টর নির্ণয়: $\vec{OC} - \vec{OB} = (3-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-2-(-5))\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$
৬. $\vec{CA}$ ভেক্টর নির্ণয়: $\vec{OA} - \vec{OC} = (2-3)\hat{i} + (-3-3)\hat{j} + (4-(-2))\hat{k} = -\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$
৭. $AB$ রেখাংশের দৈর্ঘ্য: $\vert{}\vec{AB}\vert{} = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 25 + 81} = \sqrt{107}$ একক।
৮. $BC$ রেখাংশের দৈর্ঘ্য: $\vert{}\vec{BC}\vert{} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$ একক।
৯. $CA$ রেখাংশের দৈর্ঘ্য: $\vert{}\vec{CA}\vert{} = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36 + 36} = \sqrt{73}$ একক।
১০. ত্রিভুজ $ABC$ -এর পরিসীমা: Perimeter $= AB + BC + CA = \sqrt{107} + \sqrt{14} + \sqrt{73}$ একক।
১. A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর:
২. B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর:
৩. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর:
৪.
৫.
৬.
৭.
৮.
৯.
১০. ত্রিভুজ
২. ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ (১১-১৬)
১১. $\vec{AB} + \vec{BC}$ : $(-\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = \hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ (উল্লেখ্য, এটি সরাসরি $\vec{AC}$ এর সমান)।
১২. $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$ : $(\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}) + (-\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}) = 0$ (শূন্য ভেক্টর)।
১৩. $\vec{AB} - \vec{AC}$ : $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ , $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} \implies \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} = -\vec{BC} = -2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
১৪. $\vec{AC} + \vec{CB}$ : $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}$
১৫. $\vec{AB}$ ও $\vec{AC}$ এর যোগফল: $\vec{AC} = -\vec{CA} = \hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ $\vec{AB} + \vec{AC} = (-\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}) + (\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}) = 11\hat{j} - 15\hat{k}$
১৬. $2\vec{AB} - 3\vec{BC}$ : $2(-\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}) - 3(2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = (-2\hat{i} + 10\hat{j} - 18\hat{k}) - (6\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}) = -8\hat{i} + 7\hat{j} - 27\hat{k}$
১১.
১২.
১৩.
১৪.
১৫.
১৬.
৩. একক ভেক্টর ও দিক কোসাইন (১৭-২১)
১৭. $\vec{AB}$ -এর দিকে একক ভেক্টর: $\hat{e}_{AB} = \frac{-\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}}{\sqrt{107}}$
১৮. $\vec{BC}$ -এর দিকে একক ভেক্টর: $\hat{e}_{BC} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{14}}$
১৯. $\vec{AC}$ -এর দিকে একক ভেক্টর: $\hat{e}_{AC} = \frac{\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{73}}$
২০. $\vec{AB}$ ভেক্টরের দিক কোসাইন: $\vec{AB} = -1\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}$ , এর মান $\sqrt{107}$ । দিক কোসাইনত্রয়: $\cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{107}}, \cos\beta = \frac{5}{\sqrt{107}}, \cos\gamma = \frac{-9}{\sqrt{107}}$
২১. $AB$ রেখাটি অক্ষগুলোর ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে: $\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{107}}\right)$ , $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{107}}\right)$ , $\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{107}}\right)$
১৭.
১৮.
১৯.
২০.
২১.
৪. স্কেলার গুণন বা ডট গুণন (২২-২৯)
প্রয়োজনীয় ভেক্টরসমূহ:
২২.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ :$(-1)(1) + (5)(6) + (-9)(-6) = -1 + 30 + 54 = 83$ ২৩.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC}$ :$(-1)(2) + (5)(1) + (-9)(3) = -2 + 5 - 27 = -24$ ২৪.
$\vec{AC} \cdot \vec{BC}$ :$(1)(2) + (6)(1) + (-6)(3) = 2 + 6 - 18 = -10$ ২৫.
$\vec{AB}$ ও$\vec{AC}$ -এর মধ্যবর্তী কোণ:$\cos\theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\vert{}\vec{AB}\vert{} \vert{}\vec{AC}\vert{}} = \frac{83}{\sqrt{107}\sqrt{73}} = \frac{83}{\sqrt{7811}} \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{83}{\sqrt{7811}}\right)$ ২৬. ত্রিভুজ
$ABC$ -এর$A$ শীর্ষের কোণ: এটি মূলত$\vec{AB}$ ও$\vec{AC}$ এর মধ্যবর্তী কোণ$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{83}{\sqrt{7811}}\right)$ ।২৭. ত্রিভুজ
$ABC$ -এর$B$ শীর্ষের কোণ ($\angle B$ ): বাহুগুলো হলো$\vec{BA} (-\vec{AB})$ এবং$\vec{BC}$ ।$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1)(2) + (-5)(1) + (9)(3) = 2 - 5 + 27 = 24$ $\vert{}\vec{BA}\vert{} = \sqrt{107}, \vert{}\vec{BC}\vert{} = \sqrt{14}$ $\angle B = \cos^{-1}\left(\frac{24}{\sqrt{107}\sqrt{14}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{24}{\sqrt{1498}}\right)$ ২৮. ত্রিভুজ
$ABC$ -এর$C$ শীর্ষের কোণ ($\angle C$ ):$\vec{CB} \cdot \vec{CA} = (-2)(1) + (-1)(6) + (-3)(-6) = -2 - 6 + 18 = 10$ $\vert{}\vec{CB}\vert{} = \sqrt{14}, \vert{}\vec{CA}\vert{} = \sqrt{73}$ $\angle C = \cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{14}\sqrt{73}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{1022}}\right)$ ২৯. ত্রিভুজটি সমকোণী কি না যাচাই: ডট গুণনগুলোর মান পরীক্ষা করি। কোনো ডট গুণন শূন্য নয়, এবং বাহুগুলোর বর্গের যোগফল পিথাগোরাস মানে না (
$107 + 14 \neq 73$ ইত্যাদি)। সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী নয়।
৫. ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (৩০-৩৬)
৩০. $\vec{AB} \times \vec{AC}$ নির্ণয়:
$$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 5 & -9 \\ 1 & 6 & -6 \end{vmatrix} = \hat{i}(-30 - (-54)) - \hat{j}(6 - (-9)) + \hat{k}(-6 - 5)$$ $$= \hat{i}(-30 + 54) - \hat{j}(6 + 9) + \hat{k}(-11) = 24\hat{i} - 15\hat{j} - 11\hat{k}$$ ৩১. $\vec{AB} \times \vec{BC}$ নির্ণয়:
$$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 5 & -9 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(15 - (-9)) - \hat{j}(-3 - (-18)) + \hat{k}(-1 - 10)$$ $$= 24\hat{i} - 15\hat{j} - 11\hat{k}$$ ৩২. $\vec{AC} \times \vec{BC}$ নির্ণয়:
$$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 6 & -6 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(18 - (-6)) - \hat{j}(3 - (-12)) + \hat{k}(1 - 12)$$ $$= 24\hat{i} - 15\hat{j} - 11\hat{k}$$ ৩৩. $\vert{}\vec{AB} \times \vec{AC}\vert{}$ এর মান নির্ণয়:
$$\vert{}\vec{24\hat{i} - 15\hat{j} - 11\hat{k}}\vert{} = \sqrt{24^2 + (-15)^2 + (-11)^2} = \sqrt{576 + 225 + 121} = \sqrt{922}$$ ৩৪. ত্রিভুজ $ABC$ -এর ক্ষেত্রফল:
$$\text{Area} = \frac{1}{2} \vert{}\vec{AB} \times \vec{AC}\vert{} = \frac{\sqrt{922}}{2} \text{বর্গ একক}$$ ৩৫. $A, B, C$ বিন্দু দিয়ে গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল:
$$\text{Area} = \vert{}\vec{AB} \times \vec{AC}\vert{} = \sqrt{922} \text{বর্গ একক}$$ ৩৬. $\vec{AB} \times \vec{AC}$ -এর লম্ব একক ভেক্টর:
$$\hat{n} = \frac{24\hat{i} - 15\hat{j} - 11\hat{k}}{\sqrt{922}}$$
৩০.
৩১.
৩২.
৩৩.
৩৪. ত্রিভুজ
৩৫.
৩৬.
৬. সরলরেখা ও সমতল (৩৭-৪১)
৩৭. $A$ ও $B$ বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ:
$$\vec{r} = \vec{OA} + t\vec{AB} \implies \vec{r} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) + t(-\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k})$$ ৩৮. $B$ ও $C$ বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ:
$$\vec{r} = \vec{OB} + s\vec{BC} \implies \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) + s(2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})$$ ৩৯. $A, B$ ও $C$ বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ: সমতলের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y, z)$ যার অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}$ । শর্ত: $(\vec{r} - \vec{OA}) \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC}) = 0$ $[(x-2)\hat{i} + (y+3)\hat{j} + (z-4)\hat{k}] \cdot [24\hat{i} - 15\hat{j} - 11\hat{k}] = 0$
$$24(x-2) - 15(y+3) - 11(z-4) = 0$$ $$24x - 48 - 15y - 45 - 11z + 44 = 0$$ $$24x - 15y - 11z - 49 = 0$$ ৪০. $ABC$ সমতলের একটি লম্ব ভেক্টর: $\vec{N} = 24\hat{i} - 15\hat{j} - 11\hat{k}$
৪১. মূলবিন্দু $O$ থেকে $ABC$ সমতলের দূরত্ব: দূরত্ব $d = \frac{\vert{}Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D\vert{}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{\vert{}24(0) - 15(0) - 11(0) - 49\vert{}}{\sqrt{24^2 + (-15)^2 + (-11)^2}} = \frac{49}{\sqrt{922}}$ একক।
৩৭.
৩৮.
৩৯.
৪০.
৪১. মূলবিন্দু
৭. মধ্যবিন্দু ও বিভাজন (৪২-৪৬)
৪২. $AB$ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$$\left(\frac{2+1}{2}, \frac{-3+2}{2}, \frac{4+(-5)}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$$ ৪৩. $BC$ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$$\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{-5+(-2)}{2}\right) = \left(2\,\frac{5}{2}, -\frac{7}{2}\right)$$ ৪৪. $CA$ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$$\left(\frac{3+2}{2}, \frac{3+(-3)}{2}, \frac{-2+4}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 0, 1\right)$$ ৪৫. $AB$ রেখাংশকে $1:2$ অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (অন্তর্বিভক্ত): সূত্র: $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)$ যেখানে $m:n = 1:2, A(2,-3,4), B(1,2,-5)$
$$x = \frac{1(1) + 2(2)}{1+2} = \frac{5}{3}$$ $$y = \frac{1(2) + 2(-3)}{1+2} = \frac{2 - 6}{3} = -\frac{4}{3}$$ $$z = \frac{1(-5) + 2(4)}{1+2} = \frac{-5 + 8}{3} = 1$$ স্থানাঙ্ক: $\left(\frac{5}{3}, -\frac{4}{3}, 1\right)$
৪৬. ত্রিভুজ $ABC$ -এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
$$x = \frac{2+1+3}{3} = 2\,\quad y = \frac{-3+2+3}{3} = \frac{2}{3}, \quad z = \frac{4-5-2}{3} = -1$$ ভরকেন্দ্র: $\left(2\,\frac{2}{3}, -1\right)$
৪২.
৪৩.
৪৪.
৪৫.
স্থানাঙ্ক:
৪৬. ত্রিভুজ
ভরকেন্দ্র:
৮. তিনটি বিন্দুর জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য (৪৭-৫০)
৪৭. $A, B$ ও $C$ বিন্দু তিনটি সমরেখ কি না যাচাই: যদি বিন্দু তিনটি সমরেখ হয়, তবে ত্রিভুজ $ABC$ -এর ক্ষেত্রফল শূন্য হবে অথবা $[\vec{AB}, \vec{AC}] = 0$ হবে। এখানে ক্ষেত্রফল $\frac{\sqrt{922}}{2} \neq 0$ । তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়।
৪৮. ত্রিভুজ $ABC$ বিষমবাহু, সমদ্বিবাহু নাকি সমবাহু—যাচাই কর: বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য: $AB = \sqrt{107} \approx 10.34$ , $BC = \sqrt{14} \approx 3.74$ , $CA = \sqrt{73} \approx 8.54$ । যেহেতু তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই ভিন্ন ($AB \neq BC \neq CA$ ), তাই ত্রিভুজ $ABC$ একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ (Scalene Triangle)।
৪৯. ত্রিভুজ $ABC$ -এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে দেখাও যে বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়: ক্রস গুণন হতে প্রাপ্ত ক্ষেত্রফল $\frac{\sqrt{922}}{2} \approx 15.18$ বর্গ একক, যা শূন্য নয়। ক্ষেত্রফল বিদ্যমান থাকায় প্রমাণিত হয় যে বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়।
৫০. ত্রিভুজ $ABC$ -এর প্রয়োজনীয় বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য: ইতিমধ্যেই নির্ণীত হয়েছে:
$AB = \sqrt{107}$
$BC = \sqrt{14}$
$CA = \sqrt{73}$ (এই বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে জ্যামিতিক নিয়মে অন্তঃকেন্দ্র বা পরিবৃত্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যায়)
৪৭.
৪৮. ত্রিভুজ
৪৯. ত্রিভুজ
৫০. ত্রিভুজ
$AB = \sqrt{107}$ $BC = \sqrt{14}$ $CA = \sqrt{73}$ (এই বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে জ্যামিতিক নিয়মে অন্তঃকেন্দ্র বা পরিবৃত্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যায়)