Physics 1st Paper

অপারেটর কি? অপারেটরের ইতিহাস, ডেল ($\nabla$) ও ল্যাপ্লাসিয়ান ($\nabla^2$) অপারেটরের সম্পূর্ণ গাণিতিক বিশ্লেষণ

গণিত ও পদার্থবিজ্ঞানের জটিল সমীকরণগুলোকে সহজ ও সুন্দর রূপ দিতে 'অপারেটর' (Operator) ধারণার ভূমিকা অনন্য। বিশেষ করে ভেক্টর ক্যালকুলাস ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে অপারেটর ছাড়া কোনো হিসাব-নিকাশ চিন্তাই করা যায় না।

আজকের নিবন্ধে আমরা অপারেটরের ইতিহাস, বিখ্যাত ডেল বা ন্যাবলা ($\nabla$) অপারেটরের উৎপত্তি এবং ভেক্টর ক্যালকুলাসের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ ল্যাপ্লাসিয়ান ($\nabla^2$) অপারেটরের গাণিতিক ব্যাখ্যা নিয়ে বিশদ আলোচনা করব।

১. অপারেটরের ইতিহাস (History of Operators)

অপারেটর কি?

সাধারণ ভাষায়, অপারেটর হলো একটি গাণিতিক প্রতীক বা নির্দেশক, যা কোনো ফাংশন বা রাশির ওপর প্রযুক্ত হয়ে সেটিকে অন্য একটি ফাংশন বা রাশিতে রূপান্তরিত করে।

উদাহরণস্বরূপ: যোগ ($+$), বিয়োগ ($-$), অন্তরীকরণ ($\frac{d}{dx}$) কিংবা সমাকলন ($\int$) সবই একেকটি অপারেটর।

ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট:

• প্রাথমিক যুগ (১৭ শতক): অপারেটরের ধারণার সূচনা ঘটে ক্যালকুলাসের জনক স্যার আইজ্যাক নিউটন এবং গটফ্রিড উইলহেলম লাইবনিজ-এর হাত ধরে। লাইবনিজ প্রথম $\frac{d}{dx}$ প্রতীকটি প্রবর্তন করেন, যা নির্দেশ করে একটি ফাংশনের ওপর ব্যবকলন (Differentiation) অপারেশন চালাতে হবে।

• অপারেটর অ্যালজেব্রা (১৮ শতক): ফরাসি গণিতবিদ জোসেফ-লুই লাগ্রাঞ্জ (Joseph-Louis Lagrange) এবং লেহনহার্ড ইউলার (Leonhard Euler) প্রথম উপলব্ধি করেন যে অন্তরীকরণ অপারেটরগুলোকে বীজগণিতীয় চিহ্নের মতো আলাদাভাবে প্রকাশ ও পরিচালনা করা সম্ভব।

• সংশ্লেষণ ও বিকাশ (১৯ শতক): ব্রিটিশ গণিতবিদ জর্জ বুল (George Boole) ১৮৪৪ সালে অপারেটর অ্যালজেব্রার ওপর ভিত্তি করে সমীকরণ সমাধানের একটি নতুন ধারা চালু করেন। পরবর্তীতে অলিভার হেভিসাইড (Oliver Heaviside) তড়িৎ প্রকৌশলে জটিল ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য ওপারেশনাল ক্যালকুলাস (Operational Calculus) উদ্ভাবন করেন।

• কোয়ান্টাম যুগ (২০ শতক): বিশ শতকের সূচনায় ভার্নার হাইজেনবার্গ, এরউইন শ্রোডিঙ্গার এবং পল ডিরাক কোয়ান্টাম মেকানিক্সে স্থান, ভরবেগ ও শক্তির মতো ভৌত রাশিগুলোকে অপারেটর (যেমন: $\hat{H}, \hat{p}$) হিসেবে প্রকাশ করেন, যা আধুনিক বিজ্ঞানে অপারেটরের প্রয়োগকে এক নতুন উচ্চতায় নিয়ে যায়।

২. ডেল ($\nabla$) অপারেটরের ইতিহাস (History of the Del Operator)

ভেক্টর ক্যালকুলাসে ডেল ($\nabla$) হলো সবচেয়ে বহুল ব্যবহৃত অপারেটর। কিন্তু এই চিহ্নটি কোথা থেকে এলো?

আবিষ্কার:

ডেল অপারেটরের ধারণাটি ১৮৩৭ সালে আইরিশ বিজ্ঞানী ও গণিতবিদ স্যার উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন (Sir William Rowan Hamilton) প্রথম প্রবর্তন করেন। তিনি তাঁর উদ্ভাবিত কোয়াটারনিয়ন (Quaternion) তত্ত্বের অংশ হিসেবে এই ত্রি-মাত্রিক ব্যবকলনীয় অপারেটরটির অবতারণা করেন।

'ন্যাবলা' ও 'ডেল' নামের নামকরণ:

• প্রতীকের নাম (Nabla): ডেল-এর উল্টো ত্রিভুজাকৃতির প্রতীকটি ($\nabla$) হ্যামিল্টন ব্যবহার করেছিলেন। হ্যামিল্টনের বন্ধু এবং বিশিষ্ট বিজ্ঞানী পিটার গার্থি টেট (Peter Guthrie Tait) এই প্রতীকের নাম দেন 'Nabla' (ন্যাবলা)। প্রাচীন আসিরীয় বা ফিনিশীয় অঞ্চলের এক ধরনের ত্রিভুজাকার তারযুক্ত বাদ্যযন্ত্র (Harp)-এর সাথে এর চেহারার মিল থাকায় তিনি এই নামকরণ করেন।

• 'Del' নামের প্রবর্তন: পরবর্তীতে বিখ্যাত আমেরিকান ভৌত-রসায়নবিদ জোসায়াহ উইলার্ড গিবস (Josiah Willard Gibbs) এবং অলিভার হেভিসাইড যখন আধুনিক ভেক্টর বিশ্লেষণ তৈরি করেন, তখন গিবস এই অপারেটরটিকে সংক্ষিপ্ত করে "Del" (ডেল) নামে ডাকতে শুরু করেন।

ডেল অপারেটরের গাণিতিক রূপ:

ত্রিমাত্রিক কার্তেযীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় (Cartesian Coordinate System) ডেল অপারেটরটি লেখা হয়:

\(\nabla = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}\)

এটি একটি ভেক্টর ডিফারেন্সিয়াল অপারেটর। এটি নিজে কোনো মান প্রকাশ করে না, কিন্তু যখন কোনো স্কেলার বা ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে যুক্ত হয় (গ)্র্যাডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স ও কর্ল হিসেবে), তখন তা ভৌত পরিবর্তন নির্দেশ করে।

৩. ল্যাপ্লাসিয়ান ($\nabla^2$) অপারেটর ও এর গাণিতিক ব্যাখ্যা

ল্যাপ্লাসিয়ান অপারেটর কি?

ফরাসি মহান গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিজ্ঞানী পিয়েরে-সিমন ল্যাপ্লাস (Pierre-Simon Laplace)-এর নামানুসারে এই অপারেটরের নামকরণ করা হয়েছে।

ল্যাপ্লাসিয়ান হলো একটি স্কেলার ডাইভারজেন্স অপারেটর, যা কোনো স্কেলার বা ভেক্টর ক্ষেত্রের দ্বিতীয় ক্রমের আংশিক অন্তরক (Second-order Partial Derivative) নির্দেশ করে।

গাণিতিক প্রতিপাদন (Mathematical Derivation):

আমরা জানি, ডেল অপারেটর:

\(\nabla = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}\)

ল্যাপ্লাসিয়ান অপারেটর (\(\nabla^2\)) মূলত ডেল অপারেটরের নিজের সাথেই নিজের ডট গুণন (Dot Product):

\(\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla\)\(\nabla^2 = \left(\hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot \left(\hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\)

ডট গুণনের নিয়ম অনুসারে (\(\hat{i}\cdot\hat{i} = 1, \hat{j}\cdot\hat{j} = 1, \hat{k}\cdot\hat{k} = 1\)

এবং বিষম একক ভেক্টরের ডট গুণন \(0\)):\(\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\)

এটিই হলো ল্যাপ্লাসিয়ান অপারেটরের গাণিতিক রূপ।স্কেলার ক্ষেত্রে ল্যাপ্লাসিয়ান:

যদি \(\phi(x, y, z)\) একটি স্কেলার ফাংশন হয়, তবে তার ল্যাপ্লাসিয়ান হবে:\(\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\)

বিশেষ নোট: এটি মূলত \(\phi\)-এর গ্র্যাডিয়েন্টের ডাইভারজেন্স,

অর্থাৎ:\(\nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi)\)

পদার্থবিজ্ঞানে ল্যাপ্লাসিয়ান সমীকরণসমূহ:

পদার্থবিজ্ঞানের বহু গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণ ল্যাপ্লাসিয়ান অপারেটরের সাহায্যে লেখা হয়:

১. ল্যাপ্লাসের সমীকরণ (Laplace's Equation):

কোনো স্থানে চার্জ বা ভরের উপস্থিতি না থাকলে বিভব \(V\)-এর ক্ষেত্রে:\(\nabla^2 V = 0\)

২. পয়সনের সমীকরণ (Poisson's Equation):স্থিরতড়িৎবিদ্যায় চার্জ ঘনত্ব \(\rho\) হলে:\(\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}\)

৩. তাপ সঞ্চালন ও তরঙ্গ সমীকরণ (Heat & Wave Equation):

তরঙ্গ প্রবাহ ও তাপ ছড়িয়ে পড়া প্রকাশ করতে ল্যাপ্লাসিয়ান ব্যবহার করা হয়:

\(\nabla^2 u = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\)

৪. শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ (Schrödinger Equation):

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ইলেকট্রনের তরঙ্গ ফাংশন \(\psi\) বের করতে:

\(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi = E\psi\)

ল্যাপ্লাসিয়ান অপারেটরের ভৌত তাৎপর্য:

গড় মান থেকে বিচ্যুতি: কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ফাংশনের মান তার আশেপাশের বিন্দুগুলোর গড় মান থেকে কতটা আলাদা, ল্যাপ্লাসিয়ান সেটি পরিমাপ করে।

প্রসারণ ও ভারসাম্য: তাপ সঞ্চালনের ক্ষেত্রে \(\nabla^2 T\) নির্দেশ করে সময়ের সাথে কোথায় তাপ জমা হচ্ছে বা ছড়িয়ে পড়ছে। যদি \(\nabla^2 T = 0\) হয়, তবে তা তাপীয় সাম্যাবস্থা নির্দেশ করে।

একনজরে অপারেটরসমূহের তুলনা

১. ডেল অপারেটর (\(\nabla\)) কি?

গ্র্যাডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স ও কর্ল বোঝার আগে আমাদের ডেল (\(\nabla\)) বা ন্যাবলা (Nabla) অপারেটর সম্পর্কে জানতে হবে। এটি একটি ভেক্টর ডারাইভেটিভ অপারেটর।ত্রিমাত্রিক কাতেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ডেল অপারেটরকে লেখা হয়:

\(\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\)

মনে রাখবেন: ডেল নিজে কোনো ভেক্টর রাশি নয়, কিন্তু এটি স্কেলার বা ভেক্টর ফাংশনের ওপর প্রযুক্ত হয়ে ভেক্টরের মতো আচরণ করে।

২. গ্র্যাডিয়েন্ট (Gradient)

সংজ্ঞা:কোনো স্কেলার ক্ষেত্র বা ফাংশনের সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার এবং সেই পরিবর্তনের দিক নির্দেশকারী ভেক্টর রাশিকে উক্ত স্কেলার ক্ষেত্রের গ্র্যাডিয়েন্ট (Gradient) বলে।

সহজ কথায়, একটি স্কেলার ফাংশনের ওপর ডেল (\(\nabla\)) অপারেটর প্রয়োগ করলে একটি ভেক্টর রাশি পাওয়া যায়। এটিই হলো গ্র্যাডিয়েন্ট।

গাণিতিক বিশ্লেষণ:

ধরি, একটি স্কেলার ফাংশন \(\phi(x, y, z)\)। এর গ্র্যাডিয়েন্ট প্রকাশ করা হয় \(\text{grad}(\phi)\) বা \(\nabla\phi\) দ্বারা:\(\nabla\phi = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\phi\)

\(\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k}\)

ভৌত তাৎপর্য:

দিক ও পরিবর্তন: \(\nabla\phi\) ভেক্টরটির দিক নির্দেশ করে স্কেলার রাশিটির বৃদ্ধির সর্বোচ্চ হার কোন দিকে ঘটছে।তলের অভিলম্ব: কোনো স্কেলার তলের (Scalar Surface) কোনো বিন্দুতে গ্র্যাডিয়েন্ট অঙ্কন করলে তা ঐ তলের ওপর লম্ব বা অভিলম্ব (Normal) হিসেবে কাজ করে।গ্র্যাডিয়েন্টের বৈশিষ্ট্য:এটি একটি স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তরিত করে।গ্র্যাডিয়েন্টের মান হলো স্কেলার ক্ষেত্রটির সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার।স্কেলার ক্ষেত্র ধ্রুবক হলে এর গ্র্যাডিয়েন্ট শূন্য (\(\vec{0}\)) হয়।

৩. ডাইভারজেন্স (Divergence)

সংজ্ঞা:কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ওপর ডেল অপারেটরের ডট গুণনকে ডাইভারজেন্স (Divergence) বলে।

ডাইভারজেন্স মূলত প্রকাশ করে কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু বা এলাকা থেকে প্রবাহী পদার্থ (যেমন: পানি, বাতাস) বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ছে, নাকি ভেতরে কেন্দ্রীভূত হচ্ছে।

গাণিতিক বিশ্লেষণ:

ধরি, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{V}(x, y, z) = V_x\hat{i} + V_y\hat{j} + V_z\hat{k}\)।

এর ডাইভারজেন্স প্রকাশ করা হয় \(\text{div}(\vec{V})\) বা \(\nabla \cdot \vec{V}\) দ্বারা:\(\nabla \cdot \vec{V} = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) \cdot (V_x\hat{i} + V_y\hat{j} + V_z\hat{k})\)

ডট গুণনের নিয়ম অনুযায়ী (\(\hat{i}\cdot\hat{i} = \hat{j}\cdot\hat{j} = \hat{k}\cdot\hat{k} = 1\)):

\(\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}\)

ভৌত তাৎপর্য ও ব্যাখ্যা:

ডাইভারজেন্সের মানভৌত তাৎপর্যচিত্র/প্রকৃতি\(\nabla \cdot \vec{V} > 0\) (ধনাত্মক)উৎস (Source) নির্দেশ করে। অণু বা রেখাগুলো প্রসারিত হচ্ছে (আয়তন বৃদ্ধি পাচ্ছে, ঘনত্ব কমছে)।বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ে\(\nabla \cdot \vec{V} < 0\) (ঋণাত্মক)সিঙ্ক (Sink) নির্দেশ করে। অণু বা রেখাগুলো কেন্দ্রীভূত হচ্ছে (আয়তন হ্রাস পাচ্ছে, ঘনত্ব বাড়ছে)।ভেতরের দিকে জমা হয়\(\nabla \cdot \vec{V} = 0\) (শূন্য)অসংকোচনীয় ক্ষেত্র (Incompressible Field)। প্রবালের প্রবেশ ও নির্গমন সমান।সোলেনয়ডাল (Solenoidal)

ডাইভারজেন্সের বৈশিষ্ট্য:

এটি একটি ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশিতে রূপান্তরিত করে।

\(\nabla \cdot \vec{V} = 0\) হলে উক্ত ভেক্টর ক্ষেত্রকে সোলেনয়ডাল (Solenoidal) বলা হয়।

চৌম্বক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে সবসময় \(\nabla \cdot \vec{B} = 0\), যা নির্দেশ করে প্রকৃতিতে একক চৌম্বক মেরুর অস্তিত্ব নেই।

৪. কর্ল (Curl)

সংজ্ঞা:কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ওপর ডেল অপারেটরের ক্রস গুণনকে কর্ল (Curl) বলে।

কর্ল মূলত কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন বা ঘূর্ণায়মানতা (Rotation) পরিমাপ করে। অর্থাৎ, কোনো প্রবাহী পদার্থের মধ্যে একটি ক্ষুদ্র ঘূর্ণি চাকা রাখলে তা ঘুরবে কিনা এবং কত দ্রুতিতে ঘুরবে, তা কর্ল দ্বারা বোঝা যায়।

গাণিতিক বিশ্লেষণ:

ধরি, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{A}(x, y, z) = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}\)।

এর কর্ল প্রকাশ করা হয় \(\text{curl}(\vec{A})\) বা \(\nabla \times \vec{A}\) দ্বারা। এটি নির্ণয় করতে ম্যাট্রিক্স ডিটারমিন্যান্ট (Determinant) ব্যবহার করা হয়:\(\nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}\)

ডিটারমিন্যান্ট বিস্তার করে পাই:\(\nabla \times \vec{A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\hat{j} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\hat{k}\)

ভৌত তাৎপর্য:

ঘূর্ণনশীলতা: \(\nabla \times \vec{A} \neq \vec{0}\) হলে ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল (Rotational)।

অঘূর্ণনশীলতা: \(\nabla \times \vec{A} = \vec{0}\) হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (Irrotational)।

কৌণিক বেগ: কোনো ঘূর্ণায়মান বস্তুর রৈখিক বেগ \(\vec{v}\) হলে তার কৌণিক বেগ \(\vec{\omega} = \frac{1}{2}(\nabla \times \vec{v})\)।কর্লের বৈশিষ্ট্য:এটি একটি ভেক্টর রাশিকে পুনরায় ভেক্টর রাশিতেই রূপান্তর করে।কর্লের দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম (Right-hand screw rule) অনুযায়ী ঘূর্ণন অক্ষের সমান্তরালে হয়।অঘূর্ণনশীল বল ক্ষেত্র সর্বদা সংরক্ষণশীল বল (Conservative Force) নির্দেশ করে (যেমন: মহাকর্ষ বল ও স্থিরতড়িৎ বল)।

ভেক্টর ক্যালকুলাস পরীক্ষা/অনুশীলন প্রশ্নপত্র

বিষয়: ভেক্টর ক্যালকুলাস (গ্র্যাডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স ও কর্ল)

মোট প্রশ্ন: ১৫টি | পূর্ণমান: ৭৫ (প্রতিটি প্রশ্ন: গ = ৩, ঘ = ৪)

অংশ-১: গ্র্যাডিয়েন্ট (Gradient)

১. একটি স্কেলার ক্ষেত্র $\phi(x, y, z) = x^2 y + yz^2 - xz^3$ দেওয়া আছে।

• (গ) $(1, -2, 1)$ বিন্দুতে $\nabla \phi$ (গ্র্যাডিয়েন্ট) নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) উক্ত বিন্দুতে স্কেলার ক্ষেত্রটির সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার এবং দিক গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো। (মান: ৪)

২. অবস্থান ভেক্টর $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ এবং এর মান $r = \vert{}\vec{r}\vert{}$।

• (গ) $\nabla r^n$ নির্ণয় করো (যেখানে $n$ একটি ধ্রুবক)। (মান: ৩)

• (ঘ) দেখাও যে, $\nabla\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{\vec{r}}{r^3}$। সমীকরণটির ভৌত তাৎপর্য ব্যাখ্যা করো। (মান: ৪)

৩. স্থান স্থানাঙ্কে একটি স্কেলার ফাংশন $f(x, y, z) = 3x^2 y - y^3 z^2$।

• (গ) $(1, 1, 2)$ বিন্দুতে $f$-এর গ্র্যাডিয়েন্ট নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) $(1, 1, 2)$ বিন্দুতে $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ ভেক্টরের দিকে $f$-এর দিকদর্শী অন্তরক (Directional Derivative) নির্ণয় করো। (মান: ৪)

৪. দুটি তল (Surface) দেওয়া হলো: $S_1: x^2 + y^2 + z^2 = 9$ এবং $S_2: z = x^2 + y^2 - 3$।

• (গ) $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে $S_1$ তলের অভিলম্ব ভেক্টর (Normal vector) নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে প্রদত্ত তলদ্বয়ের মধ্যকার ছেদ কোণ (Angle of intersection) নির্ণয় করো। (মান: ৪)

৫. একটি স্থানিক স্কেলার বিভব $V(x, y, z) = x^2 y - 2yz$।

• (গ) প্রাবল্য ভেক্টর $\vec{E} = -\nabla V$ বের করো। (মান: ৩)

• (ঘ) $(2, 1, 3)$ বিন্দুতে একক মানের ধনাত্মক আধানের ওপর প্রযুক্ত বলের মান ও দিক গাণিতিকভাবে মূল্যায়ন করো। (মান: ৪)

অংশ-২: ডাইভারজেন্স (Divergence)

৬. একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{F} = (x^2 y)\hat{i} - (2xz)\hat{j} + (2yz)\hat{k}$।

• (গ) $(1, 2, 1)$ বিন্দুতে $\nabla \cdot \vec{F}$ (ডাইভারজেন্স) নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) উক্ত বিন্দুতে প্রবাহী পদার্থের আয়তন বৃদ্ধির হার ধনাত্মক, ঋণাত্মক নাকি অপরিবর্তিত থাকে—তা গাণিতিক ফলাফলের ভিত্তিতে ব্যাখ্যা করো। (মান: ৪)

৭. অবস্থান ভেক্টর $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ এবং $r = \vert{}\vec{r}\vert{}$।

• (গ) $\nabla \cdot \vec{r}$ এর মান নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) প্রমাণ করো যে, $\nabla \cdot (r^n \vec{r}) = (n+3)r^n$ এবং $n = -3$ হলে ক্ষেত্রটির প্রকৃতি কেমন হবে যুক্তিসহ বিশ্লেষণ করো। (মান: ৪)

৮. একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{A} = (x + 3y)\hat{i} + (y - 2z)\hat{j} + (x + kz)\hat{k}$।

• (গ) ক্ষেত্রটি সোলেনয়ডাল (Solenoidal) হলে $k$-এর মান নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) উদ্দীপকে প্রাপ্ত $k$-এর মানের জন্য উক্ত ভেক্টর ক্ষেত্রটির কোনো বিন্দুতে নিট অতিক্রান্ত প্রবাহ (Net Outflow) কেমন হবে—গাণিতিক যুক্তি দাও। (মান: ৪)

৯. একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{V} = (x^2 + yz)\hat{i} + (y^2 + xz)\hat{j} + (z^2 + xy)\hat{k}$।

• (গ) $(1, -1, 1)$ বিন্দুতে $\nabla \cdot \vec{V}$ বের করো। (মান: ৩)

• (ঘ) উদ্দীপকের $\vec{V}$ ক্ষেত্রটি কি অসংকোচনীয় (Incompressible)? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও। (মান: ৪)

১০. স্কেলার ক্ষেত্র $\phi = 2x^3 y^2 z^4$।

• (গ) $\nabla \phi$ বের করো। (মান: ৩)

• (ঘ) প্রমাণ করো যে, $\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla^2 \phi$ (লাফলাসিয়ান) এবং $(1, 1, 1)$ বিন্দুতে এর মান হিসাব করো। (মান: ৪)

অংশ-৩: কর্ল (Curl)

১১. একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{F} = (y^2 \cos x + z^3)\hat{i} + (2y \sin x - 4)\hat{j} + (3xz^2 + 2)\hat{k}$।

• (গ) $\nabla \times \vec{F}$ (কর্ল) নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (Irrotational) এবং সংরক্ষণশীল (Conservative) কিনা তা গাণিতিকভাবে যাচাই করো। (মান: ৪)

১২. কণার কৌণিক বেগ $\vec{\omega} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$ এবং ব্যাসার্ধ ভেক্টর $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$। কণাটির রৈখিক বেগ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$।

• (গ) রৈখিক বেগ $\vec{v}$-এর ভেক্টর রূপ নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) দেখাও যে, $\vec{\omega} = \frac{1}{2} (\nabla \times \vec{v})$। গাণিতিক ফলাফলের ভৌত তাৎপর্য ব্যাখ্যা করো। (মান: ৪)

১৩. একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{A} = (2xy + z^3)\hat{i} + (x^2)\hat{j} + (3xz^2)\hat{k}$।

• (গ) যেকোনো বিন্দুতে $\nabla \times \vec{A}$ বের করো। (মান: ৩)

• (ঘ) ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল হলে এমন একটি স্কেলার বিভব ফাংশন $\phi$ নির্ণয় করো যেন $\vec{A} = \nabla \phi$ হয়। (মান: ৪)

১৪. একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{v} = (ax y - z^3)\hat{i} + (a-2)x^2 \hat{j} + (b x z^2)\hat{k}$।

• (গ) ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্তে ধ্রুবক $a$ ও $b$-এর মান নির্ণয় করো। (মান: ৩)

• (ঘ) $a$ ও $b$-এর প্রাপ্ত মানে ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স সোলেনয়ডাল নির্দেশ করে কিনা তা গাণিতিকভাবে পরীক্ষা করো। (মান: ৪)

১৫. কোনো একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{F}(x, y, z)$।

• (গ) যেকোনো ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{F}$-এর জন্য $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0$ প্রমাণ করো। (মান: ৩)

• (ঘ) যেকোনো স্কেলার ক্ষেত্র $\phi$-এর জন্য $\nabla \times (\nabla \phi) = 0$ প্রমাণ করো এবং ভেক্টর ক্যালকুলাসে এই দুটি অভেদের (Identity) ভৌত গুরুত্ব আলোচনা করো।

ভেক্টর ক্যালকুলাস প্রশ্নপত্রের সমাধান ও উত্তরপত্রঅংশ-

১: গ্র্যাডিয়েন্ট (Gradient)

প্রশ্ন ১ এর সমাধান:

প্রদত্ত স্কেলার ক্ষেত্র: \(\phi(x, y, z) = x^2 y + yz^2 - xz^3\)

এবং বিন্দু \((1, -2, 1)\)।(গ) \((1, -2, 1)\) বিন্দুতে \(\nabla \phi\)

(গ)্র্যাডিয়েন্ট) নির্ণয়:আমরা জানি, \(\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k}\)\(\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + yz^2 - xz^3) = 2xy - z^3\)

\(\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + yz^2 - xz^3) = x^2 + z^2\)

\(\frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^2 y + yz^2 - xz^3) = 2yz - 3xz^2\)

\(\frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^2 y + yz^2 - xz^3) = 2yz - 3xz^2\)তাহলে, \(\nabla \phi = (2xy - z^3)\hat{i} + (x^2 + z^2)\hat{j} + (2yz - 3xz^2)\hat{k}\)

\((1, -2, 1)\) বিন্দু বসিয়ে পাই:\(2(1)(-2) - (1)^3 = -4 - 1 = -5\)

\(2(1)(-2) - (1)^3 = -4 - 1 = -5\)\((1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 = 2\)\(2(-2)(1) - 3(1)(1)^2 = -4 - 3 = -7\)

উত্তর (গ): \(\nabla \phi = -5\hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k}\)

(ঘ) সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার ও দিক বিশ্লেষণ:স্কেলার ক্ষেত্রের সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার হলো এর গ্র্যাডিয়েন্টের মান (Magnitude) এবং পরিবর্তনের দিক হলো গ্র্যাডিয়েন্ট ভেক্টরের দিক।

সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার = \(\vert{}\nabla \phi\vert{} = \sqrt{(-5)^2 + (2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 4 + 49} = \sqrt{78} \approx 8.832\)

\(\vert{}\nabla \phi\vert{} = \sqrt{(-5)^2 + (2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 4 + 49} = \sqrt{78} \approx 8.832\)সর্বোচ্চ পরিবর্তনের দিক (একক ভেক্টর \(\hat{n}\)):\(\hat{n} = \frac{\nabla \phi}{\vert{}\nabla \phi\vert{}} = \frac{-5\hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k}}{\sqrt{78}}\)

বিশ্লেষণ: \((1, -2, 1)\) বিন্দুতে স্কেলার ক্ষেত্র \(\phi\)-এর বৃদ্ধির সর্বোচ্চ হার হলো \(\sqrt{78}\) একক এবং এই বৃদ্ধি \(\frac{1}{\sqrt{78}}(-5\hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k})\) ভেক্টরের অভিমুখে ঘটে।

প্রশ্ন ২ এর সমাধান:

প্রদত্ত অবস্থান ভেক্টর \(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\)

এবং মান \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)।

অতএব, \(r^2 = x^2 + y^2 + z^2\)।

আংশিক অন্তরীকরণ করে পাই: \(\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}\), \(\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}\), \(\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}\)

(গ) \(\nabla r^n\) নির্ণয়:\(\nabla r^n = \frac{\partial (r^n)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial (r^n)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial (r^n)}{\partial z}\hat{k}\)

চেইন রুল ব্যবহার করে:\(\frac{\partial (r^n)}{\partial x} = n r^{n-1} \frac{\partial r}{\partial x} = n r^{n-1} \left(\frac{x}{r}\right) = n r^{n-2} x\)

একইভাবে, \(y\) ও \(z\)-এর জন্য:\(\nabla r^n = n r^{n-2} x \hat{i} + n r^{n-2} y \hat{j} + n r^{n-2} z \hat{k} = n r^{n-2} (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = n r^{n-2} \vec{r}\)

উত্তর (গ): \(\nabla r^n = n r^{n-2} \vec{r}\)

(ঘ) \(\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\) এর মান ও ভৌত তাৎপর্য:(গ) হতে প্রাপ্ত সূত্রে \(n = -1\) বসিয়ে পাই:\(\nabla (r^{-1}) = (-1) r^{-1-2} \vec{r} = -r^{-3} \vec{r} = -\frac{\vec{r}}{r^3}\)

যেহেতু \(\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}\), তাই এটি লেখা যায়: \(\nabla\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{\hat{r}}{r^2}\) (প্রমাণিত)

ভৌত তাৎপর্য:পদার্থবিজ্ঞানে মহাকর্ষীয় বিভব \(V = -\frac{GM}{r}\)

এবং স্থিরতড়িৎ বিভব \(V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}\)।

আমরা জানি, বল/প্রাবল্য \(\vec{E} = -\nabla V\)।সুতরাং, \(\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\) নির্দেশ করে যে দূরত্বের বৃদ্ধির সাথে বিভব হ্রাস পায় এবং বিভবের ঋণাত্মক গ্র্যাডিয়েন্ট একটি ব্যাসার্ধমুখী বল ক্ষেত্র (Central Force Field, যেমন মহাকর্ষ বা কুলম্ব বল) নির্দেশ করে যা \(r^2\)-এর ব্যস্তানুপাতিক।

প্রশ্ন ৩ এর সমাধান:

\(f(x, y, z) = 3x^2 y - y^3 z^2\)

এবং বিন্দু \((1, 1, 2)\)।(গ) \((1, 1, 2)\) বিন্দুতে \(\nabla f\) নির্ণয়:\(\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy\)

\(\implies\) \((1,1,2)\) বিন্দুতে \(6(1)(1) = 6\)\(\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2 z^2\)

\(\implies\) \(3(1)^2 - 3(1)^2(2)^2 = 3 - 12 = -9\)\(\frac{\partial f}{\partial z} = -2y^3 z\)

\(\implies\) \(-2(1)^3(2) = -4\)

উত্তর (গ): \(\nabla f = 6\hat{i} - 9\hat{j} - 4\hat{k}\)

(ঘ) \(\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}\) ভেক্টরের দিকে দিকদর্শী অন্তরক (Directional Derivative):দিকদর্শী অন্তরক \(D_{\vec{a}} f = \nabla f \cdot \hat{a}\)যেখানে \(\hat{a}\) হলো \(\vec{a}\)-এর দিকে একক ভেক্টর:\(\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\vert{}\vec{a}\vert{}} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3}\)

এখন ডট গুণন করে পাই:

\(D_{\vec{a}} f = (6\hat{i} - 9\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot \left(\frac{\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3}\right) = \frac{(6)(1) + (-9)(2) + (-4)(2)}{3}\)

\(= \frac{6 - 18 - 8}{3} = \frac{-20}{3}\)

উত্তর (ঘ): দিকদর্শী অন্তরকের মান \(-\frac{20}{3}\) বা \(-6.67\)।

প্রশ্ন ৪ এর সমাধান:\(S_1: f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 9 = 0\)\(S_2: g(x,y,z) = x^2 + y^2 - z - 3 = 0\)

\(S_2: g(x,y,z) = x^2 + y^2 - z - 3 = 0\)বিন্দু: \(P(2, -1, 2)\)(গ) \(S_1\) তলের অভিলম্ব ভেক্টর (\(\vec{n}_1\)) নির্ণয়:\(\vec{n}_1 = \nabla f = 2x\hat{i} + 2y\hat{j} + 2z\hat{k}\)\((2, -1, 2)\) বিন্দু বসিয়ে:\(\vec{n}_1 = 2(2)\hat{i} + 2(-1)\hat{j} + 2(2)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}\)

উত্তর (গ): অভিলম্ব ভেক্টর \(\vec{n}_1 = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}\)

(ঘ) তলদ্বয়ের মধ্যকার ছেদ কোণ (Angle of Intersection) নির্ণয়:

\(S_2\) তলের জন্য অভিলম্ব ভেক্টর \(\vec{n}_2 = \nabla g\):\(\nabla g = 2x\hat{i} + 2y\hat{j} - \hat{k}\)

\(P(2, -1, 2)\) বিন্দুতে:\(\vec{n}_2 = 2(2)\hat{i} + 2(-1)\hat{j} - \hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}\)

ধরি, তলদ্বয়ের মধ্যকার কোণ \(\theta\) (যা তাদের অভিলম্বদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ):

\(\cos\theta = \frac{\vert{}\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\vert{}}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}}\)

\(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (4)(4) + (-2)(-2) + (4)(-1) = 16 + 4 - 4 = 16\)\(\vert{}\vec{n}_1\vert{} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6\)\(\vert{}\vec{n}_2\vert{} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}\)\(\cos\theta = \frac{16}{6\sqrt{21}} = \frac{8}{3\sqrt{21}} \approx 0.5819\)

\(\theta = \cos^{-1}(0.5819) \approx 54.41^\circ\)

উত্তর (ঘ): ছেদ কোণ \(\theta \approx 54.41^\circ\)।

প্রশ্ন ৫ এর সমাধান:বিভব \(V(x, y, z) = x^2 y - 2yz\)

(গ) প্রাবল্য ভেক্টর \(\vec{E} = -\nabla V\) বের করা:

\(\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k}\)

\(\frac{\partial V}{\partial x} = 2xy\)

\(\frac{\partial V}{\partial y} = x^2 - 2z\)

\(\frac{\partial V}{\partial z} = -2y\)

অতএব, \(\vec{E} = -\nabla V = -2xy\hat{i} - (x^2 - 2z)\hat{j} + 2y\hat{k}\)

উত্তর (গ): \(\vec{E} = -2xy\hat{i} + (2z - x^2)\hat{j} + 2y\hat{k}\)

(ঘ) \((2, 1, 3)\) বিন্দুতে প্রযুক্ত বলের মান ও দিক:

একক ধনাত্মক আধানের (\(q = +1\text{ C}\)) ওপর প্রযুক্ত বল \(\vec{F} = q\vec{E} = \vec{E}\)।

\((2, 1, 3)\) বিন্দুতে \(\vec{E}\) নির্ণয় করি:\(x = 2, y = 1, z = 3\)

\(x = 2, y = 1, z = 3\)\(E_x = -2(2)(1) = -4\)\(E_y = 2(3) - (2)^2 = 6 - 4 = 2\)

\(E_y = 2(3) - (2)^2 = 6 - 4 = 2\)\(E_z = 2(1) = 2\)\(\vec{F} = \vec{E} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}\)

বলের মান:\(\vert{}\vec{F}\vert{} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\text{ N} \approx 4.90\text{ N}\)

বলের দিক (একক ভেক্টর):\(\hat{F} = \frac{-4\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{2\sqrt{6}} = \frac{-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}\)

অংশ-২: ডাইভারজেন্স (Divergence)

প্রশ্ন ৬ এর সমাধান:\(\vec{F} = (x^2 y)\hat{i} - (2xz)\hat{j} + (2yz)\hat{k}\)

এবং বিন্দু \((1, 2, 1)\)।

(গ) \((1, 2, 1)\) বিন্দুতে \(\nabla \cdot \vec{F}\) নির্ণয়:\(\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)

\(\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy\)

\(\frac{\partial}{\partial y}(-2xz) = 0\)

\(\frac{\partial}{\partial z}(2yz) = 2y\)

\(\frac{\partial}{\partial z}(2yz) = 2y\)তাহলে, \(\nabla \cdot \vec{F} = 2xy + 0 + 2y = 2y(x + 1)\)

\((1, 2, 1)\) বিন্দুতে:\(\nabla \cdot \vec{F} = 2(2)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8\)

\(\nabla \cdot \vec{F} = 2(2)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8\)উত্তর (গ): \(\nabla \cdot \vec{F} = 8\)

(ঘ) প্রবাহী পদার্থের আয়তন বৃদ্ধির হার বিশ্লেষণ:

ভেক্টর ক্যালকুলাসে কোনো বিন্দুতে ডাইভারজেন্সের মান:\(\nabla \cdot \vec{F} > 0\) হলে, উৎস (Source) নির্দেশ করে, অর্থাৎ অণুগুলো বাইরের দিকে প্রসারিত হচ্ছে (আয়তন বৃদ্ধি পাচ্ছে/ঘনত্ব হ্রাস পাচ্ছে)।\(\nabla \cdot \vec{F} < 0\) হলে, সিঙ্ক (Sink) নির্দেশ করে (আয়তন সংকুচিত হচ্ছে)।\(\nabla \cdot \vec{F} = 0\) হলে, অসংকোচনীয় প্রবাহ নির্দেশ করে।যেহেতু \((1, 2, 1)\) বিন্দুতে \(\nabla \cdot \vec{F} = +8 > 0\), তাই গাণিতিক ফলাফলের ভিত্তিতে উক্ত বিন্দুতে প্রবাহী পদার্থের আয়তন বৃদ্ধির হার ধনাত্মক (প্রবাহীটি প্রসারিত হচ্ছে)।

প্রশ্ন ৭ এর সমাধান:

\(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\)

(গ) \(\nabla \cdot \vec{r}\) এর মান নির্ণয়:\(\nabla \cdot \vec{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3\)

উত্তর (গ): \(\nabla \cdot \vec{r} = 3\)(ঘ) \(\nabla \cdot (r^n \vec{r}) = (n+3)r^n\)

প্রমাণ ও বিশ্লেষণ:ভেক্টর অভেদ ব্যবহার করে:\(\nabla \cdot (r^n \vec{r}) = (\nabla r^n) \cdot \vec{r} + r^n (\nabla \cdot \vec{r})\)

প্রশ্ন ২(গ) থেকে আমরা জানি \(\nabla r^n = n r^{n-2} \vec{r}\)।

এবং (গ) থেকে \(\nabla \cdot \vec{r} = 3\)।মান বসিয়ে পাই:\(\nabla \cdot (r^n \vec{r}) = (n r^{n-2} \vec{r}) \cdot \vec{r} + r^n (3)\)

যেহেতু \(\vec{r} \cdot \vec{r} = r^2\):\(= n r^{n-2} (r^2) + 3r^n = n r^n + 3r^n = (n + 3)r^n \quad \text{(প্রমাণিত)}\)

ক্ষেত্রটির প্রকৃতি (\(n = -3\) হলে):

\(n = -3\) বসালে, \(\nabla \cdot (r^{-3} \vec{r}) = (-3 + 3)r^{-3} = 0\) (মূলবিন্দু \(r=0\) ব্যতীত)।

যেহেতু ডাইভারজেন্স শূন্য, ক্ষেত্রটি সোলেনয়ডাল (Solenoidal) এবং এটি একটি অসংকোচনীয় প্রক্ষেত্র নির্দেশ করে।

প্রশ্ন ৮ এর সমাধান:\(\vec{A} = (x + 3y)\hat{i} + (y - 2z)\hat{j} + (x + kz)\hat{k}\)

(গ) \(k\)-এর মান নির্ণয়:ক্ষেত্রটি সোলেনয়ডাল হওয়ার শর্ত: \(\nabla \cdot \vec{A} = 0\)\(\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial}{\partial x}(x + 3y) + \frac{\partial}{\partial y}(y - 2z) + \frac{\partial}{\partial z}(x + kz)\)\(\implies 1 + 1 + k = 0 \implies 2 + k = 0 \implies k = -2\)

\(\implies 1 + 1 + k = 0 \implies 2 + k = 0 \implies k = -2\)উত্তর (গ): \(k = -2\)

(ঘ) নিট অতিক্রান্ত প্রবাহ (Net Outflow) মূল্যায়ন:\(k = -2\) এর জন্য \(\nabla \cdot \vec{A} = 0\)।গাউসের ডাইভারজেন্স উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো আবদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে মোট নির্গত প্রবাহ \(Flux = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{A}) dV\)।যেহেতু \(\nabla \cdot \vec{A} = 0\), তাই উক্ত ক্ষেত্রের যেকোনো আবদ্ধ এলাকার জন্য নিট প্রবাহ বা Net Outflow শূন্য হবে। অর্থাৎ, যতখানি ফ্লাক্স ভেতরে প্রবেশ করে, ঠিক ততখানিই বাইরে বের হয়ে যায়।

প্রশ্ন ৯ এর সমাধান:\(\vec{V} = (x^2 + yz)\hat{i} + (y^2 + xz)\hat{j} + (z^2 + xy)\hat{k}\)

(গ) \((1, -1, 1)\) বিন্দুতে \(\nabla \cdot \vec{V}\) বের করা:\(\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2 + xz) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2 + xy)\)

\(= 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)\)

\((1, -1, 1)\) বিন্দুতে:\(\nabla \cdot \vec{V} = 2(1 + (-1) + 1) = 2(1) = 2\)

\(\nabla \cdot \vec{V} = 2(1 + (-1) + 1) = 2(1) = 2\)উত্তর (গ): \(\nabla \cdot \vec{V} = 2\)

(ঘ) অসংকোচনীয়তা (Incompressibility)

বিশ্লেষণ:প্রবাহী বা ভেক্টর ক্ষেত্র অসংকোচনীয় হওয়ার জন্য শর্ত হলো ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স সর্বত্র শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ \(\nabla \cdot \vec{V} = 0\) হতে হবে।কিন্তু এখানে \(\nabla \cdot \vec{V} = 2(x + y + z)\)।এটি কেবল \(x + y + z = 0\) সমতলে শূন্য হয়, কিন্তু সামগ্রিকভাবে সমস্ত স্থানে এটি শূন্য নয় (যেমন: \((1, -1, 1)\) বিন্দুতে মান \(2\))।

মতামত: সুতরাং, \(\vec{V}\) ক্ষেত্রটি সার্বিকভাবে অসংকোচনীয় (Incompressible) নয়।

প্রশ্ন ১০ এর সমাধান:\(\phi = 2x^3 y^2 z^4\)

\(\phi = 2x^3 y^2 z^4\)(গ) \(\nabla \phi\) বের করা:\(\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k}\)\(= (6x^2 y^2 z^4)\hat{i} + (4x^3 y z^4)\hat{j} + (8x^3 y^2 z^3)\hat{k}\)

(ঘ) \(\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla^2 \phi\) প্রমাণ ও \((1,1,1)\) বিন্দুতে মান:বামপক্ষ: \(\nabla \cdot (\nabla \phi)\)\(= \frac{\partial}{\partial x}(6x^2 y^2 z^4) + \frac{\partial}{\partial y}(4x^3 y z^4) + \frac{\partial}{\partial z}(8x^3 y^2 z^3)\)

\(= 12x y^2 z^4 + 4x^3 z^4 + 24x^3 y^2 z^2\)

\(= 12x y^2 z^4 + 4x^3 z^4 + 24x^3 y^2 z^2\)ডানপক্ষ: \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(6x^2 y^2 z^4) = 12x y^2 z^4\)

\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(6x^2 y^2 z^4) = 12x y^2 z^4\)\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(4x^3 y z^4) = 4x^3 z^4\)

\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(4x^3 y z^4) = 4x^3 z^4\)\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}(8x^3 y^2 z^3) = 24x^3 y^2 z^2\)

\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}(8x^3 y^2 z^3) = 24x^3 y^2 z^2\)যোগ করলে দেখা যায়: \(\text{LHS} = \text{RHS} = \nabla^2 \phi\) (প্রমাণিত)\((1, 1, 1)\) বিন্দুতে মান:\(\nabla^2 \phi = 12(1)(1)^2(1)^4 + 4(1)^3(1)^4 + 24(1)^3(1)^2(1)^2 = 12 + 4 + 24 = 40\)

\(\nabla^2 \phi = 12(1)(1)^2(1)^4 + 4(1)^3(1)^4 + 24(1)^3(1)^2(1)^2 = 12 + 4 + 24 = 40\)উত্তর (ঘ): মান \(40\)।

অংশ-৩: কর্ল (Curl)

প্রশ্ন ১১ এর সমাধান:\(\vec{F} = (y^2 \cos x + z^3)\hat{i} + (2y \sin x - 4)\hat{j} + (3xz^2 + 2)\hat{k}\)

(গ) \(\nabla \times \vec{F}\) (ক)র্ল) নির্ণয়:\(\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2 \cos x + z^3 & 2y \sin x - 4 & 3xz^2 + 2 \end{vmatrix}\)

ভেক্টর উপাদানভিত্তিক বিস্তার করি:\(\hat{i}\) উপাদান: \(\frac{\partial}{\partial y}(3xz^2 + 2) - \frac{\partial}{\partial z}(2y \sin x - 4) = 0 - 0 = 0\)\(\hat{j}\)

উপাদান: \(\frac{\partial}{\partial z}(y^2 \cos x + z^3) - \frac{\partial}{\partial x}(3xz^2 + 2) = 3z^2 - 3z^2 = 0\)\(\hat{k}\)

উপাদান: \(\frac{\partial}{\partial x}(2y \sin x - 4) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2 \cos x + z^3) = 2y \cos x - 2y \cos x = 0\)

\(\frac{\partial}{\partial x}(2y \sin x - 4) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2 \cos x + z^3) = 2y \cos x - 2y \cos x = 0\)উত্তর (গ): \(\nabla \times \vec{F} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0}\)

(ঘ) অঘূর্ণনশীল ও সংরক্ষণশীলতা যাচাই:

১. যেহেতু \(\nabla \times \vec{F} = \vec{0}\), তাই বল ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (Irrotational)।

২. ভেক্টর ক্যালকুলাসের উপপাদ্যানুযায়ী, যেকোনো সরলভাবে যুক্ত ক্ষেত্রে (simply connected domain) যদি কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কর্ল শূন্য হয় (\(\nabla \times \vec{F} = \vec{0}\)), তবে ক্ষেত্রটি একটি সংরক্ষণশীল (Conservative) বল ক্ষেত্র নির্দেশ করে।সিদ্ধান্ত: \(\vec{F}\) ক্ষেত্রটি একই সাথে অঘূর্ণনশীল এবং সংরক্ষণশীল।প্রশ্ন ১২ এর সমাধান:\(\vec{\omega} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}\) এবং \(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\)

(গ) রৈখিক বেগ \(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\) নির্ণয়:\(\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix}\)\(= \hat{i}(-4z - y) - \hat{j}(3z - x) + \hat{k}(3y - (-4x))\)

\(= (-y - 4z)\hat{i} + (x - 3z)\hat{j} + (4x + 3y)\hat{k}\)

উত্তর (গ): \(\vec{v} = (-y - 4z)\hat{i} + (x - 3z)\hat{j} + (4x + 3y)\hat{k}\)

(ঘ) \(\vec{\omega} = \frac{1}{2} (\nabla \times \vec{v})\) প্রমাণ ও ভৌত তাৎপর্য:\(\nabla \times \vec{v}\) নির্ণয় করি:\(\nabla \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -y-4z & x-3z & 4x+3y \end{vmatrix}\)

উপাদানসমূহ বিস্তার করে:\(\hat{i}\) কম্পোনেন্ট: \(\frac{\partial}{\partial y}(4x+3y) - \frac{\partial}{\partial z}(x-3z) = 3 - (-3) = 6\)

\(\frac{\partial}{\partial y}(4x+3y) - \frac{\partial}{\partial z}(x-3z) = 3 - (-3) = 6\)\(\hat{j}\) কম্পোনেন্ট: \(\frac{\partial}{\partial z}(-y-4z) - \frac{\partial}{\partial x}(4x+3y) = -4 - 4 = -8\)\(\hat{k}\)

কম্পোনেন্ট: \(\frac{\partial}{\partial x}(x-3z) - \frac{\partial}{\partial y}(-y-4z) = 1 - (-1) = 2\)

\(\frac{\partial}{\partial x}(x-3z) - \frac{\partial}{\partial y}(-y-4z) = 1 - (-1) = 2\)অতএব, \(\nabla \times \vec{v} = 6\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k} = 2(3\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}) = 2\vec{\omega}\)\(\implies \vec{\omega} = \frac{1}{2} (\nabla \times \vec{v}) \quad \text{(প্রমাণিত)}\)

\(\implies \vec{\omega} = \frac{1}{2} (\nabla \times \vec{v}) \quad \text{(প্রমাণিত)}\)ভৌত তাৎপর্য:বেগের কর্ল (\(\nabla \times \vec{v}\)) কোনো প্রবাহী বা বস্তুর ঘূর্ণন গতি নির্দেশ করে। এটি নির্দেশ করে যে রৈখিক বেগের কর্ল হলো কৌণিক বেগের দ্বিগুণের সমান। অর্থাৎ, কর্ল হলো স্থানিক ঘূর্ণনশীলতার (Rotationality) পরিমাপ।

প্রশ্ন ১৩ এর সমাধান:\(\vec{A} = (2xy + z^3)\hat{i} + (x^2)\hat{j} + (3xz^2)\hat{k}\)(গ) \(\nabla \times \vec{A}\) বের করা:\(\nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2xy+z^3 & x^2 & 3xz^2 \end{vmatrix}\)

\(\hat{i}: \frac{\partial}{\partial y}(3xz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2) = 0 - 0 = 0\)

\(\hat{j}: \frac{\partial}{\partial z}(2xy+z^3) - \frac{\partial}{\partial x}(3xz^2) = 3z^2 - 3z^2 = 0\)\(\hat{k}: \frac{\partial}{\partial x}(x^2) - \frac{\partial}{\partial y}(2xy+z^3) = 2x - 2x = 0\)

উত্তর (গ): \(\nabla \times \vec{A} = \vec{0}\)

(ঘ) স্কেলার বিভব ফাংশন \(\phi\) নির্ণয়:যেহেতু \(\nabla \times \vec{A} = \vec{0}\), তাই \(\vec{A} = \nabla \phi\) লেখা যায়।\(\frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k} = (2xy + z^3)\hat{i} + x^2\hat{j} + 3xz^2\hat{k}\)

তুলনা করে পাই:\(\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy + z^3 \implies \phi = x^2 y + xz^3 + g(y, z)\)\(\frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2 \implies \phi = x^2 y + h(x, z)\)

\(\frac{\partial \phi}{\partial z} = 3xz^2 \implies \phi = xz^3 + k(x, y)\)

তিনটি একত্রিত করে পাই:\(\phi(x, y, z) = x^2 y + xz^3 + C \quad (\text{যেখানে } C \text{ একটি ধ্রুবক})\)

প্রশ্ন ১৪ এর সমাধান:\(\vec{v} = (ax y - z^3)\hat{i} + (a-2)x^2 \hat{j} + (b x z^2)\hat{k}\)

(গ) অঘূর্ণনশীলতার শর্তে \(a\) ও \(b\)-এর মান নির্ণয়:অঘূর্ণনশীলতার জন্য \(\nabla \times \vec{v} = \vec{0}\) হতে হবে।\(\nabla \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ ax y - z^3 & (a-2)x^2 & b x z^2 \end{vmatrix} = \vec{0}\)

উপাদানসমূহ আলাদা করি:\(\hat{i}\) কম্পোনেন্ট: \(0 - 0 = 0\)\(\hat{j}\)

কম্পোনেন্ট: \(\frac{\partial}{\partial z}(axy - z^3) - \frac{\partial}{\partial x}(bxz^2) = -3z^2 - bz^2 = -(3 + b)z^2 = 0 \implies b = -3\)\(\hat{k}\) কম্পোনেন্ট: \(\frac{\partial}{\partial x}[(a-2)x^2] - \frac{\partial}{\partial y}(axy - z^3) = 2(a-2)x - ax = (2a - 4 - a)x = (a - 4)x = 0 \implies a = 4\)উত্তর (গ): \(a = 4\) এবং \(b = -3\)

(ঘ) সোলেনয়ডাল কিনা তা পরীক্ষা:\(a = 4, b = -3\) বসিয়ে ভেক্টরটি দাঁড়ায়:\(\vec{v} = (4xy - z^3)\hat{i} + 2x^2\hat{j} - 3xz^2\hat{k}\)

এখন এর ডাইভারজেন্স বের করি:\(\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial}{\partial x}(4xy - z^3) + \frac{\partial}{\partial y}(2x^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-3xz^2)\)\(= 4y + 0 - 6xz = 4y - 6xz\)

যেহেতু \(\nabla \cdot \vec{v} = 4y - 6xz \neq 0\) (সার্বিকভাবে শূন্য নয়),

গাণিতিক মূল্যায়ন:

ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স শূন্য নয়, সুতরাং এটি সোলেনয়ডাল নির্দেশ করে না।

প্রশ্ন ১৫ এর সমাধান:

(গ) প্রমাণ করো: \(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0\)

\(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0\)ধরি, \(\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} + F_z \hat{k}\)

আমরা জানি,\(\nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{k}\)

এখন \(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F})\) নির্ণয় করি:

\(= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\)\(= \frac{\partial^2 F_z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 F_x}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 F_y}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial z \partial y}\)

আংশিক অন্তরীকরণের ক্রম পরিবর্তনশীলতার নীতি অনুযায়ী (\(\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}\)):

সকল পদ পরস্পরকে বাতিল করে দেয়।\(= 0 \quad \text{(প্রমাণিত)}\)

\(= 0 \quad \text{(প্রমাণিত)}\)(ঘ) প্রমাণ করো: \(\nabla \times (\nabla \phi) = 0\) এবং ভৌত গুরুত্ব:আমরা জানি, \(\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k}\)

কর্ল নির্ণয় করি:\(\nabla \times (\nabla \phi) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{vmatrix}\)\(= \hat{i}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y}\right) - \hat{j}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x}\right) + \hat{k}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x}\right)\)\(= 0\hat{i} - 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0} \quad \text{(প্রমাণিত)}\)

\(= 0\hat{i} - 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0} \quad \text{(প্রমাণিত)}\)

১. \(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0\) এর গুরুত্ব: এটি নির্দেশ করে যে যেকোনো কর্ল ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স সবসময় শূন্য। পদার্থবিজ্ঞানে এর অর্থ হলো চৌম্বক একক মেরুর (Magnetic Monopole) কোনো অস্তিত্ব নেই। ম্যাক্সওয়েলের দ্বিতীয় সমীকরণ (\(\nabla \cdot \vec{B} = 0\)) এটিকেই সমর্থন করে, যেখানে \(\vec{B} = \nabla \times \vec{A}\)।

২. \(\nabla \times (\nabla \phi) = 0\) এর গুরুত্ব: এটি প্রকাশ করে যে যেকোনো স্কেলার বিভব ক্ষেত্রের গ্র্যাডিয়েন্ট সবসময় অঘূর্ণনশীল হয়। অর্থাৎ, মহাকর্ষীয় বা স্থিরতড়িৎ বল ক্ষেত্রসমূহ সংরক্ষণশীল (Conservative Field) এবং এই ধরনের বল দ্বারা একটি পূর্ণ চক্রে কৃতকাজের মান সর্বদা শূন্য।