ডাইনামিক ক্যারিয়ার

পদার্থবিজ্ঞান: ভেক্টর (Vector)

নৈর্ব্যক্তিক প্রশ্নপত্র (MCQ Exam)

বিষয়শ্রেণী: স্কেলার গুণন, মধ্যবর্তী কোণ, লম্ব হওয়ার শর্ত এবং অজানা রাশি '$a$' এর মান নির্ণয়

মোট প্রশ্ন: ৩০টি | পূর্ণমান: ৩০ | সময়: ৩০ মিনিট

১. দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ এর স্কেলার গুণফলের সঠিক গাণিতিক প্রকাশ কোনটি?

(ক) $AB \sin \theta$

(খ) $AB \cos \theta$

(গ) $AB \tan \theta$

(ঘ) $AB \csc \theta$

২. কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় আয়ত একক ভেক্টরসমূহের ক্ষেত্রে $\hat{i} \cdot \hat{j}$ এর মান কত?

(ক) $1$

(খ) $0$

(গ) $-1$

(ঘ) $\hat{k}$

৩. $\hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k}$ রাশিটির মান কত?

(ক) $0$

(খ) $1$

(গ) $3$

(ঘ) $9$

৪. $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ হলে, $\vec{A} \cdot \vec{B}$ এর মান কত?

(ক) $8$

(খ) $-8$

(গ) $4$

(ঘ) $-4$

৫. স্কেলার গুণন নিচের কোন গাণিতিক নিয়মটি মেনে চলে?

(ক) বিনিময় নীতি ($\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$)

(খ) বণ্টন নীতি

(গ) (ক) ও (খ) উভয়ই

(ঘ) কোনটিই নয়

৬. $\vec{A} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$ ভেক্টরটির মান ($\vert{}\vec{A}\vert{}$) কত?

(ক) $7$

(খ) $1$

(গ) $5$

(ঘ) $25$

৭. যদি দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB$ হয়, তবে তাদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$

(খ) $45^\circ$

(গ) $90^\circ$

(ঘ) $180^\circ$

৮. দুটি সমমানের ভেক্টরের স্কেলার গুণফল তাদের মানের গুণফলের অর্ধেক হলে, মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $30^\circ$

(খ) $45^\circ$

(গ) $60^\circ$

(ঘ) $90^\circ$

৯. $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} - \hat{j}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$

(খ) $45^\circ$

(গ) $90^\circ$

(ঘ) $180^\circ$

১০. $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $30^\circ$

(খ) $45^\circ$

(গ) $60^\circ$

(ঘ) $90^\circ$

১১. যদি $\vec{A} \cdot \vec{B} = -AB$ হয়, তবে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ এর মান কত?

(ক) $0^\circ$

(খ) $90^\circ$

(গ) $120^\circ$

(ঘ) $180^\circ$

১২. $\vec{A} = \hat{i} + \sqrt{3}\hat{j}$ ভেক্টরটি X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

(ক) $30^\circ$

(খ) $45^\circ$

(গ) $60^\circ$

(ঘ) $90^\circ$

১৩. দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল ঋণাত্মক হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ এর প্রকৃতি কেমন?

(ক) সূক্ষ্মকোণ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$)

(খ) সমকোণ ($\theta = 90^\circ$)

(গ) স্থূলকোণ ($90^\circ < \theta \le 180^\circ$)

(ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ

১৪. $\vec{P} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ এবং $\vec{Q} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$

(খ) $45^\circ$

(গ) $90^\circ$

(ঘ) $180^\circ$

১৫. দুটি অশূন্য ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ পরস্পর লম্ব হওয়ার প্রয়োজনীয় ও পর্যাপ্ত শর্ত কোনটি?

(ক) $\vec{A} \times \vec{B} = 0$

(খ) $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$

(গ) $\vec{A} + \vec{B} = 0$

(ঘ) $\vec{A} \cdot \vec{B} = 1$

১৬. $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ এবং $\vec{B} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ ভেক্টরদ্বয় সম্পর্কে কোনটি সঠিক?

(ক) এরা সমান্তরাল

(খ) এরা পরস্পর লম্ব

(গ) এরা বিপরীতমুখী

(ঘ) এরা একরেখীয়

১৭. $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরটির ওপর নিচের কোন ভেক্টরটি লম্ব?

(ক) $\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$

(খ) $\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$

(গ) $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$

(ঘ) $2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$

১৮. যদি $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ এবং $\vert{}\vec{A}\vert{} \neq 0, \vert{}\vec{B}\vert{} \neq 0$ হয়, তবে তাদের জ্যামিতিক সম্পর্ক কী?

(ক) $\vec{A} \parallel \vec{B}$

(খ) $\vec{A} \perp \vec{B}$

(গ) $\vec{A} = \vec{B}$

(ঘ) $\vec{A} = -\vec{B}$

১৯. দুটি একক ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফলের মান কত?

(ক) $1$

(খ) $0$

(গ) $-1$

(ঘ) $2$

২০. $\vec{A} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ হলে এদের ডট গুণফল কত এবং এরা কি লম্ব?

(ক) $0$, লম্ব

(খ) $10$, লম্ব নয়

(গ) $-4$, লম্ব নয়

(ঘ) $0$, সমান্তরাল

২১. $\vec{A} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{B} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে $a$ এর মান কত?

(ক) $2$

(খ) $3$

(গ) $-3$

(ঘ) $4$

২২. $a$ এর মান কত হলে $\vec{A} = a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2a\hat{i} + a\hat{j} - 4\hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় লম্ব হবে?

(ক) $2$ বা $-1$

(খ) $3$ বা $-2$

(গ) $1$ বা $-2$

(ঘ) $4$ বা $-1$

২৩. $\vec{P} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ এবং $\vec{Q} = 2\hat{i} + a\hat{j} - \hat{k}$ লম্ব হলে $a$ এর মান কত?

(ক) $1$

(খ) $\frac{1}{2}$

(গ) $-\frac{1}{2}$

(ঘ) $2$

২৪. $\vec{A} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + a\hat{k}$ পরস্পর লম্ব হলে $a$ এর মান কত?

(ক) $1$

(খ) $-1$

(গ) $2$

(ঘ) $-2$

২৫. $a$ এর মান কত হলে $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{B} = a\hat{i} + \hat{j}$ ভেক্টরদ্বয় লম্ব হবে?

(ক) $-1$

(খ) $1$

(গ) $2$

(ঘ) $-2$

২৬. $\vec{m} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ এবং $\vec{n} = -2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$ পরস্পর লম্ব হলে $a$ এর মান কত?

(ক) $0$

(খ) $1$

(গ) $-1$

(ঘ) $8$

২৭. $\vec{A} = a\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - a\hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় লম্ব হলে $a$ এর মান কত?

(ক) $6$

(খ) $12$

(গ) $-12$

(ঘ) $0$

২৮. $a$ এর কোন মানের জন্য $\vec{A} = 2\hat{i} + a\hat{j} + 3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ লম্ব হবে?

(ক) $\frac{14}{3}$

(খ) $\frac{3}{14}$

(গ) $-\frac{14}{3}$

(ঘ) $14$

২৯. $\vec{A} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + a\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ পরস্পর লম্ব হলে $a$ এর মান কত?

(ক) $0$

(খ) $1$

(গ) $2$

(ঘ) $3$

৩০. $\vec{P} = a\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ এবং $\vec{Q} = 3\hat{i} - a\hat{j} + 4\hat{k}$ লম্ব হলে $a$ এর মান কত?

(ক) $-12$

(খ) $12$

(গ) $6$

(ঘ) $-6$

উত্তরমালা (Answer Key)

বিস্তারিত ব্যাখ্যা ও সমাধান

প্রশ্ন ১ [সঠিক উত্তর: (খ)]

স্কেলার গুণনের সংজ্ঞানুসারে, $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$, যেখানে $\theta$ হলো ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।

প্রশ্ন ২ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$\hat{i}$ ও $\hat{j}$ যথাক্রমে X ও Y অক্ষ বরাবর দুটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর ($\theta = 90^\circ$)।

$\therefore \hat{i} \cdot \hat{j} = (1)(1)\cos 90^\circ = 0$

প্রশ্ন ৩ [সঠিক উত্তর: (গ)]

একই একক ভেক্টরের ডট গুণফল $1$ হয় ($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$, $\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$, $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$)।

$\therefore 1 + 1 + 1 = 3$

প্রশ্ন ৪ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(4)

= 2 - 6 - 4

= -8$

প্রশ্ন ৫ [সঠিক উত্তর: (গ)]

স্কেলার গুণন বিনিময় নীতি ($\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$)

এবং বণ্টন নীতি $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$ উভয়ই মেনে চলে।

প্রশ্ন ৬ [সঠিক উত্তর: (গ)]

$\vert{}\vec{A}\vert{} = \sqrt{3^2 + (-4)^2}

= \sqrt{9 + 16}

= \sqrt{25} = 5$

প্রশ্ন ৭ [সঠিক উত্তর: (ক)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta

= AB \implies \cos \theta

= 1 \implies \theta = 0^\circ$ (ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল ও একইমুখী)।

প্রশ্ন ৮ [সঠিক উত্তর: (গ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0.5 AB \implies AB \cos \theta

= 0.5 AB \implies \cos \theta

= 0.5 \implies \theta

= 60^\circ$

প্রশ্ন ৯ [সঠিক উত্তর: (গ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(1) + (1)(-1)

= 1 - 1 = 0$

স্কেলার গুণফল শূন্য হওয়ায় ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$।

প্রশ্ন ১০ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(3) + (2)(0) = 6$

$\vert{}\vec{A}\vert{} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\vert{}\vec{B}\vert{} = 3$

$\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\vert{}\vec{A}\vert{} \vert{}\vec{B}\vert{}} = \frac{6}{2\sqrt{2} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = 45^\circ$

প্রশ্ন ১১ [সঠিক উত্তর: (ঘ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta

= -AB \implies \cos \theta

= -1 \implies \theta

= 180^\circ$ (ভেক্টরদ্বয় পরস্পর বিপরীতমুখী)।

প্রশ্ন ১২ [সঠিক উত্তর: (গ)]

$\tan \theta = \frac{A_y}{A_x} = \frac{\sqrt{3}}{1}

= \sqrt{3} \implies \theta

= 60^\circ$

প্রশ্ন ১৩ [সঠিক উত্তর: (গ)]

$\cos \theta$ এর মান ঋণাত্মক হলে $\theta$ এর মান $90^\circ$ থেকে $180^\circ$ এর মধ্যে থাকে, যা স্থূলকোণ।

প্রশ্ন ১৪ [সঠিক উত্তর: (গ)]

$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (3)(4) + (4)(-3)

= 12 - 12

= 0 \implies \theta = 90^\circ$

প্রশ্ন ১৫ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos 90^\circ = 0$।

তাই দুটি অশূন্য ভেক্টর লম্ব হওয়ার প্রধান শর্ত হলো স্কেলার গুণফল শূন্য হওয়া।

প্রশ্ন ১৬ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(-3) + (3)(2)

= -6 + 6 = 0$

ডট গুণফল শূন্য হওয়ায় ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব।

প্রশ্ন ১৭ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 1 + 1 - 2 = 0$

ডট গুণফল শূন্য হওয়ায় এরা পরস্পর লম্ব।

প্রশ্ন ১৮ [সঠিক উত্তর: (খ)]

অশূন্য ভেক্টরদ্বয়ের ক্ষেত্রে $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ হলে তাদের জ্যামিতিক সম্পর্ক হলো $\vec{A} \perp \vec{B}$ (পরস্পর লম্ব)।

প্রশ্ন ১৯ [সঠিক উত্তর: (খ)]

যে কোনো দুটি পরস্পর লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফলের মান সবসময় $0$।

প্রশ্ন ২০ [সঠিক উত্তর: (ক)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (5)(2) + (-2)(2) + (3)(-2) = 10 - 4 - 6 = 0$

ডট গুণফল $0$, তাই এরা পরস্পর লম্ব।

প্রশ্ন ২১ [সঠিক উত্তর: (খ)]

ভেক্টরদ্বয় লম্ব হওয়ায় $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$

$\implies 2(4) + a(-2) + 1(-2) = 0$

$\implies 8 - 2a - 2 = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$

প্রশ্ন ২২ [সঠিক উত্তর: (ক)]

ভেক্টরদ্বয় লম্ব হওয়ায় $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$

$\implies a(2a) + (-2)(a) + 1(-4) = 0$

$\implies 2a^2 - 2a - 4 = 0 \implies a^2 - a - 2 = 0$

$\implies (a - 2)(a + 1) = 0 \implies a = 2$ বা $-1$

প্রশ্ন ২৩ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0 \implies 3(2) + (-2)(a) + 5(-1) = 0$

$\implies 6 - 2a - 5 = 0 \implies 1 - 2a = 0 \implies a = \frac{1}{2}$

প্রশ্ন ২৪ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \implies 1(4) + 3(-2) + (-2)(a) = 0$

$\implies 4 - 6 - 2a = 0 \implies -2 - 2a = 0 \implies a = -1$

প্রশ্ন ২৫ [সঠিক উত্তর: (ক)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \implies 2(a) + 2(1) + (-1)(0) = 0$

$\implies 2a + 2 = 0 \implies a = -1$

প্রশ্ন ২৬ [সঠিক উত্তর: (ক)]

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \implies 4(-2) + 3(a) + 8(1) = 0$

$\implies -8 + 3a + 8 = 0 \implies 3a = 0 \implies a = 0$

প্রশ্ন ২৭ [সঠিক উত্তর: (খ)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \implies a(3) + 3(4) + 4(-a) = 0$

$\implies 3a + 12 - 4a = 0 \implies 12 - a = 0 \implies a = 12$

প্রশ্ন ২৮ [সঠিক উত্তর: (ক)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \implies 2(1) + a(-3) + 3(4) = 0$

$\implies 2 - 3a + 12 = 0 \implies 14 = 3a \implies a = \frac{14}{3}$

প্রশ্ন ২৯ [সঠিক উত্তর: (ক)]

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \implies 3(2) + (-6)(1) + a(-2) = 0$

$\implies 6 - 6 - 2a = 0 \implies -2a = 0 \implies a = 0$

প্রশ্ন ৩০ [সঠিক উত্তর: (ক)]

$\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0 \implies a(3) + 2(-a) + 3(4) = 0$

$\implies 3a - 2a + 12 = 0 \implies a + 12 = 0 \implies a = -12$