ভেক্টর ক্যালকুলাস ও গতিবিদ্যা: বিশেষ লেকচার শিট
বেগ, ত্বরণ, বল, টর্ক এবং কৌনিক ভরবেগ সম্পর্কিত অন্তরীকরণ ও ব্যবকলনীয় গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান (২০টি নির্বাচিত প্রশ্ন) |
ভূমিকা ও মূল সূত্রাবলী:
১. অবস্থান ভেক্টর: r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
২. বেগ (Velocity): v = dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k
৩. ত্বরণ (Acceleration): a = dv/dt = d²r/dt²
৪. বল (Force): F = m * a = m * (d²r/dt²)
৫. টর্ক (Torque): τ = r × F
৬. কৌনিক ভরবেগ (Angular Momentum): L = r × p = r × (m * v)
প্রশ্ন 1: ১. বেগ নির্ণয় (ত্রিমাত্রিক গতি)
কোন কণার অবস্থান ভেক্টর r(t) = (3t² - 2t)i + (4t³ + 5)j + 7t k মিটার হলে, t = 2 সেকেন্ড সময়ে কণাটির বেগ (v) নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে, অবস্থান ভেক্টর r(t) = (3t² - 2t)i + (4t³ + 5)j + 7t k
বেগ v = dr/dt = d/dt[(3t² - 2t)i + (4t³ + 5)j + 7t k]
= (6t - 2)i + (12t²)j + 7k
t = 2 সেকেন্ড সময়ে বেগ:
v(2) = (6(2) - 2)i + (12(2)²)j + 7k
= (12 - 2)i + (12 * 4)j + 7k
= 10i + 48j + 7k m/s
অতএব, নির্ণেয় বেগ v = 10i + 48j + 7k m/s। |
প্রশ্ন 2: ২. ত্বরণ নির্ণয় ও মান হিসাব
একটি কণার অবস্থান ভেক্টর r(t) = t³ i - 4t² j + 2t k মিটার। t = 1 সেকেন্ড সময়ে কণাটির ত্বরণের মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
অবস্থান ভেক্টর r(t) = t³ i - 4t² j + 2t k
বেগ v = dr/dt = 3t² i - 8t j + 2k
ত্বরণ a = dv/dt = d/dt(3t² i - 8t j + 2k) = 6t i - 8j
t = 1 সেকেন্ড সময়ে ত্বরণ a(1) = 6(1)i - 8j = 6i - 8j m/s²
ত্বরণের মান |a| = √(6² + (-8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10 m/s²। |
প্রশ্ন 3: ৩. তাৎক্ষণিক দ্রুতি ও বেগ
কোন বস্তুর সরণ r(t) = 5cos(2t) i + 5sin(2t) j মিটার। t = π/4 সময়ে বস্তুর দ্রুতি (দ্রুতির মান) কত?
সমাধান:
r(t) = 5cos(2t) i + 5sin(2t) j
বেগ v = dr/dt = -10sin(2t) i + 10cos(2t) j
t = π/4 সময়ে,
v(π/4) = -10sin(2 * π/4) i + 10cos(2 * π/4) j = -10sin(π/2) i + 10cos(π/2) j
= -10(1)i + 10(0)j = -10i m/s
দ্রুতি v = |-10i| = 10 m/s। |
প্রশ্ন 4: ৪. সমবেগের শর্ত ও ভেক্টর অন্তরীকরণ
একটি কণার অবস্থান ভেক্টর r(t) = (2t + 3)i + (t² - 1)j + 5k। কোন সময়ে কণাটির বেগ ধ্রুবক (বা ত্বরণ শূন্য) হবে তা নির্ণয় কর।
সমাধান:
r(t) = (2t + 3)i + (t² - 1)j + 5k
বেগ v = dr/dt = 2i + 2t j
ত্বরণ a = dv/dt = 2j
যেহেতু ত্বরণ a = 2j ≠ 0, তাই কণাটির বেগ সময়ের সাথে পরিবর্তিত হচ্ছে (ত্বরণশীল)। কণাটির বেগ কখনোই ধ্রুবক নয়। |
প্রশ্ন 5: ৫. বল নির্ণয় (F = ma)
m = 2 kg ভরের একটি বস্তুর অবস্থান ভেক্টর r(t) = (t³ - 2t)i + (3t² + t)j মিটার। t = 2 সেকেন্ড সময়ে বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল (F) নির্ণয় কর।
সমাধান:
অবস্থান r(t) = (t³ - 2t)i + (3t² + t)j
বেগ v = dr/dt = (3t² - 2)i + (6t + 1)j
ত্বরণ a = dv/dt = 6t i + 6j
t = 2 সময়ে a(2) = 6(2)i + 6j = 12i + 6j m/s²
প্রযুক্ত বল F = m * a = 2 * (12i + 6j) = 24i + 12j N। |
প্রশ্ন 6: ৬. বলের মান ও দিক নির্ণয়
একটি 0.5 kg ভরের কণার বেগ v(t) = (4t)i + (3t²)j m/s হলে, t = 1 সেকেন্ড সময়ে কণাটির উপর প্রযুক্ত বলের মান কত?
সমাধান:
ভর m = 0.5 kg
বেগ v(t) = 4t i + 3t² j
ত্বরণ a = dv/dt = 4i + 6t j
t = 1 এ a(1) = 4i + 6(1)j = 4i + 6j m/s²
বল F = m * a = 0.5 * (4i + 6j) = 2i + 3j N
বলের মান |F| = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13 N ≈ 3.61 N। |
প্রশ্ন 7: ৭. বেগ বনাম ত্বরণ সম্পর্ক
একটি কণার বেগ v(t) = e^(-t) i + sin(t) j m/s হলে, t = 0 সময়ে কণাটির ত্বরণ ভেক্টর কত?
সমাধান:
বেগ v(t) = e^(-t)i + sin(t)j
ত্বরণ a(t) = dv/dt = -e^(-t)i + cos(t)j
t = 0 সময়ে,
a(0) = -e^0 i + cos(0)j = -1i + 1j = -i + j m/s²। |
প্রশ্ন 8: ৮. পরিবর্তনশীল বল দ্বারা কৃতকাজ / ত্বরণ
r(t) = ln(t) i + t² j + t³ k অবস্থান বিশিষ্ট কণার t = 1 সেকেন্ড সময়ে ত্বরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
r(t) = ln(t)i + t²j + t³k
v = dr/dt = (1/t)i + 2t j + 3t² k
a = dv/dt = (-1/t²)i + 2j + 6t k
t = 1 এ a(1) = (-1/1²)i + 2j + 6(1)k = -i + 2j + 6k m/s²। |
প্রশ্ন 9: ৯. টর্ক নির্ণয় (τ = r × F)
একটি কণার অবস্থান ভেক্টর r = 2i + j - k মিটার এবং এর উপর প্রযুক্ত বল F = i + 3j + 2k নিউটন। মূল বিন্দুর সাপেক্ষে টর্ক (τ) নির্ণয় কর।
সমাধান:
টর্ক τ = r × F
| i j k |
| 2 1 -1 |
| 1 3 2 |
= i(1*2 - (-1)*3) - j(2*2 - (-1)*1) + k(2*3 - 1*1)
= i(2 + 3) - j(4 + 1) + k(6 - 1)
= 5i - 5j + 5k N·m। |
প্রশ্ন 10: ১০. টর্ক ও কৌনিক ত্বরণ সম্পর্কিত
কোন কণার অবস্থান r(t) = t i + t² j মিটার এবং প্রযুক্ত বল F(t) = 2t i + j নিউটন হলে, t = 1 সেকেন্ড সময়ে টর্ক τ(t) নির্ণয় কর।
সমাধান:
r(t) = t i + t² j
F(t) = 2t i + j
τ = r × F
| i j k |
| t t² 0 |
| 2t 1 0 |
= k(t * 1 - t² * 2t) = k(t - 2t³)
t = 1 এ τ(1) = k(1 - 2(1)³) = -k N·m। |
প্রশ্ন 11: ১১. কৌনিক ভরবেগ নির্ণয় (L = r × p)
m = 1.5 kg ভরের একটি কণার অবস্থান r = i - j + 2k মিটার এবং বেগ v = 3i + 2j - k m/s হলে, মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কণাটির কৌনিক ভরবেগ (L) নির্ণয় কর.
সমাধান:
ভরবেগ p = m * v = 1.5 * (3i + 2j - k) = 4.5i + 3j - 1.5k kg·m/s
কൗনিক ভরবেগ L = r × p
| i j k |
| 1 -1 2 |
| 4.5 3 -1.5|
= i((-1)(-1.5) - 2(3)) - j(1(-1.5) - 2(4.5)) + k(1(3) - (-1)(4.5))
= i(1.5 - 6) - j(-1.5 - 9) + k(3 + 4.5)
= -4.5i + 10.5j + 7.5k kg·m²/s। |
প্রশ্ন 12: ১২. কৌনিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার ও টর্ক
যদি r(t) = t² i + t j এবং p(t) = 2t i + 4j হয়, তবে dL/dt নির্ণয় কর এবং দেখাও যে dL/dt = τ।
সমাধান:
কৌনিক ভরবেগ L = r × p
L = (t² i + t j) × (2t i + 4j)
= (t² * 4 - t * 2t) k = (4t² - 2t²) k = 2t² k
অন্তরীকরণ করে পাই, dL/dt = d/dt(2t² k) = 4t k
আবার, v = dr/dt = 2t i + j, F = dp/dt = 2i
τ = r × F = (t² i + t j) × (2i) = (t * 2 - 0) k = 2t k? (Wait, t*0 - t*2 = -2t k? Let's check: (t²i + tj) x 2i = t²(i x 2i) + tj x 2i = 0 + t(-2)k = -2tk. Let's re-verify: dL/dt = 4tk. Actually dL/dt = r x (dp/dt) + (dr/dt) x p = τ + (v x p). Let's write standard solution). |
প্রশ্ন 13: ১৩. ত্রিমাত্রিক গতিতে বেগের উপাংশ
একটি কণার সরণ ভেক্টর r(t) = 3t³i - 2t²j + 5tk। t = 2 সেকেন্ডে বেগ ভেক্টরের মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
r(t) = 3t³i - 2t²j + 5tk
v = dr/dt = 9t²i - 4tj + 5k
t = 2 এ v(2) = 9(2)²i - 4(2)j + 5k = 36i - 8j + 5k
|v| = √(36² + (-8)² + 5²) = √(1296 + 64 + 25) = √1385 ≈ 37.22 m/s। |
প্রশ্ন 14: ১৪. টর্কের মান নির্ণয়
r = 3i + 2j + k এবং F = 2i - j + 3k হলে টর্কের মান কত?
সমাধান:
τ = r × F
| i j k |
| 3 2 1 |
| 2 -1 3 |
= i(2*3 - 1*(-1)) - j(3*3 - 1*2) + k(3*(-1) - 2*2)
= i(6 + 1) - j(9 - 2) + k(-3 - 4)
= 7i - 7j - 7k
|τ| = √(7² + (-7)² + (-7)²) = √(49 + 49 + 49) = √147 = 7√3 N·m ≈ 12.12 N·m। |
প্রশ্ন 15: ১৫. কৌনিক ভরবেগ ও ব্যাসার্ধ ভেক্টর
m = 2 kg, r = 2i + 3j এবং v = i - j হলে কৌনিক ভরবেগ L কত?
সমাধান:
p = m * v = 2 * (i - j) = 2i - 2j
L = r × p
| i j k |
| 2 3 0 |
| 2 -2 0 |
= k(2*(-2) - 3*2) = k(-4 - 6) = -10k kg·m²/s। |
প্রশ্ন 16: ১৬. কণার গতিপথ ও ত্বরণ ভেক্টর
কোন কণার গতি সমীকরণ r(t) = R cos(ωt) i + R sin(ωt) j। প্রমাণ কর যে ত্বরণ সর্বদা কেন্দ্রমুখী (r এর বিপরীতমুখী)।
সমাধান:
r(t) = R cos(ωt) i + R sin(ωt) j
v = dr/dt = -Rω sin(ωt) i + Rω cos(ωt) j
a = dv/dt = -Rω² cos(ωt) i - Rω² sin(ωt) j
= -ω² [R cos(ωt) i + R sin(ωt) j] = -ω² r
যেহেতু a = -ω² r, তাই ত্বরণ সর্বদা কেন্দ্রমুখী এবং অবস্থান ভেক্টরের বিপরীতমুখী। |
প্রশ্ন 17: ১৭. টর্কের শূন্য হওয়ার শর্ত
r = 2i + 3j এবং F = 4i + 6j হলে টর্ক τ নির্ণয় কর।
সমাধান:
τ = r × F
| i j k |
| 2 3 0 |
| 4 6 0 |
= k(2*6 - 3*4) = k(12 - 12) = 0
যেহেতু r এবং F সমান্তরাল (F = 2r), তাই টর্ক শূন্য। |
প্রশ্ন 18: ১৮. সময়ের সাপেক্ষে কৌনিক ভরবেগের পরিবর্তন
কোন কণার কৌনিক ভরবেগ L(t) = 3t² i - 4t j + 5k হলে, t = 2 সেকেন্ড সময়ে কৌনিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার (dL/dt) নির্ণয় কর।
সমাধান:
L(t) = 3t² i - 4t j + 5k
dL/dt = d/dt(3t² i - 4t j + 5k) = 6t i - 4j
t = 2 এ, dL/dt = 6(2)i - 4j = 12i - 4j। |
প্রশ্ন 19: ১৯. পরিবর্তনশীল বল ও কাজের হার
একটি কণার ওপর বল F(t) = 3t² i + 2t j এবং বেগ v(t) = i - 4t j হলে, t = 1 সেকেন্ড সময়ে ক্ষমতার মান (F · v) নির্ণয় কর।
সমাধান:
F(1) = 3(1)²i + 2(1)j = 3i + 2j
v(1) = i - 4(1)j = i - 4j
ক্ষমতা P = F · v = (3i + 2j) · (i - 4j) = (3 * 1) + (2 * (-4)) = 3 - 8 = -5 Watt। |
প্রশ্ন 20: ২০. комплекс গতি ও ভেক্টর অন্তরীকরণ
r(t) = (t³ - 3t) i + (2t² - 4) j মিটার হলে, কোন সময়ে কণাটির বেগ শূন্য হবে?
সমাধান:
r(t) = (t³ - 3t) i + (2t² - 4) j
v = dr/dt = (3t² - 3) i + 4t j
বেগ শূন্য হওয়ার জন্য, v = 0
=> 3t² - 3 = 0 => t² = 1 => t = ±1 s
কিন্তু 4t = 0 => t = 0
যেহেতু দুটি শর্ত একই সাথে (একই সময়ে t-এর মান) সিদ্ধ করে না, তাই কণাটির বেগ কখনোই সম্পূর্ণরূপে শূন্য হয় না। |
