পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র: লেকচার শিট
অধ্যায় ২: ভেক্টর (সূত্রের সংজ্ঞা, গাণিতিক প্রতিপাদন ও ২০টি গাণিতিক সমস্যা)
১. মৌলিক সূত্রের সংজ্ঞা ও গুরুত্বপূর্ণ ভেক্টরসমূহ
১.১ স্কেলার ও ভেক্টর রাশি
• স্কেলার রাশি (Scalar Quantity): যে সকল ভৌত রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য কেবল মানের প্রয়োজন হয়, দিকের প্রয়োজন হয় না, তাদেরকে স্কেলার রাশি বলে। (যেমন: ভর, দৈর্ঘ্য, সময়, তাপমাত্রা, কাজ, শক্তি ইত্যাদি)।
• ভেক্টর রাশি (Vector Quantity): যে সকল ভৌত রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়টিরই প্রয়োজন হয় এবং যা ভেক্টর যোগের নিয়ম মেনে চলে, তাদেরকে ভেক্টর রাশি বলে। (যেমন: সরণ, বেগ, ত্বরন, বল, ভরবেগ, তড়িৎ তীব্রতা ইত্যাদি)।
১.২ ভেক্টর সংক্রান্ত গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞাসমূহ
• একক ভেক্টর (Unit Vector): যে ভেক্টরের মান এক একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো অ-শূন্য ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর পাওয়া যায়। যদি A একটি ভেক্টর হয়, তবে তার দিকের একক ভেক্টর â = A / |A|।
• অবস্থান ভেক্টর (Position Vector): প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে অন্য কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর (Radius Vector) বলে। একে সাধারণত r দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• সরণ ভেক্টর (Displacement Vector): কোনো কণার অবস্থানের পরিবর্তনকে যে ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাকে সরণ ভেক্টর বলে। চূড়ান্ত অবস্থান ভেক্টর থেকে প্রাথমিক অবস্থান ভেক্টর বিয়োগ করে সরণ ভেক্টর পাওয়া যায় (Δr = r_final - r_initial)।
• সমান ভেক্টর (Equal Vector): একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের মান ও দিক যদি একই হয়, তবে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলে।
• ঋণাত্মক বা বিপরীত ভেক্টর (Negative Vector): একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের মান সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী হলে তাদেরকে একটি অপরটির ঋণাত্মক বা বিপরীত ভেক্টর বলে।
• বিপ্রতীপ বা ব্যতিহার ভেক্টর (Reciprocal Vector): একই জাতীয় দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান অপরটির গুণাত্মক বিপরীত হলে তাদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। (যেমন: A = 5i হলে B = (1/5)i)।
• সদৃশ ভেক্টর (Like Vectors): সমজাতীয় দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই দিকে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সদৃশ ভেক্টর বলে।
• বিসদৃশ ভেক্টর (Unlike Vectors): সমজাতীয় দুটি ভেক্টর যদি পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে বিসদৃশ ভেক্টর বলে।
১.৩ ভেক্টর সংযোজনের সামান্তরিক সূত্র
সামান্তরিক সূত্র (Parallelogram Law of Vector Addition): যদি কোনো সামান্তরিকের একটি বিন্দু হতে অঙ্কিত দুটি সংনিহিত বাহু দ্বারা একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করা যায়, তবে ঐ বিন্দু হতে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করবে। |
২. সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়ের গাণিতিক প্রতিপাদন
ধরি, O বিন্দুতে দুটি ভেক্টর P এবং Q পরস্পরের সাথে α (আলফা) কোণে ক্রিয়া করছে।
OACB একটি সামান্তরিক গঠন করি, যার সংনিহিত বাহু OA = P এবং OB = Q নির্দেশ করে। সামান্তরিকের নিয়মানুসারে, O বিন্দু হতে অঙ্কিত কর্ণ OC = R ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি নির্দেশ করবে।
OA বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করি এবং C বিন্দু হতে বর্ধিত OA বাহুর ওপর CD লম্ব অঙ্কন করি।
২.১ লব্ধির মান (R) নির্ণয়
চিত্রানুসারে, ΔOCD একটি সমকোণী ত্রিভুজ। পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
OC² = OD² + CD²
বা, OC² = (OA + AD)² + CD²
বা, OC² = OA² + 2 · OA · AD + AD² + CD² --- (সমীকরণ ১)
আবার, ΔACD সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই:
cos α = AD / AC ⇒ AD = AC cos α = Q cos α
sin α = CD / AC ⇒ CD = AC sin α = Q sin α
এবং AD² + CD² = AC² = Q²
এখন (১) নং সমীকরণে মানগুলো বসিয়ে পাই:
R² = P² + 2 · P · (Q cos α) + Q²
R² = P² + Q² + 2PQ cos α
লব্ধির মানের চূড়ান্ত সূত্র: R = √(P² + Q² + 2PQ cos α) |
২.২ লব্ধির দিক (θ) নির্ণয়
ধরি, লব্ধি R ভেক্টরটি P ভেক্টরের সাথে θ (থিটা) কোণ উৎপন্ন করে।
সমকোণী ত্রিভুজ ΔOCD হতে পাই:
tan θ = CD / OD = CD / (OA + AD)
CD এবং AD-এর মান বসিয়ে পাই:
tan θ = (Q sin α) / (P + Q cos α)
লব্ধির দিকের চূড়ান্ত সূত্র: θ = tan⁻¹ [ (Q sin α) / (P + Q cos α) ] |
২.৩ বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ (Special Cases)
• ক্ষেত্র ১: যখন α = 0° (ভেক্টরদ্বয় একই দিকে ক্রিয়া করলে): R = √(P² + Q² + 2PQ cos 0°) = √(P + Q)² = P + Q (সর্বোচ্চ লব্ধি, R_max = P + Q)
• ক্ষেত্র ২: যখন α = 180° (ভেক্টরদ্বয় বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে): R = √(P² + Q² + 2PQ cos 180°) = √(P - Q)² = P ~ Q (সর্বনিম্ন লব্ধি, R_min = P - Q)
• ক্ষেত্র ৩: যখন α = 90° (ভেক্টরদ্বয় লম্বভাবে ক্রিয়া করলে): R = √(P² + Q² + 2PQ cos 90°) = √(P² + Q²) এবং tan θ = Q / P
৩. সূত্রের ওপর ২০টি গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
সমস্যা ১: 6 N এবং 8 N মানের দুটি বল একটি বিন্দুতে পরস্পরের সাথে 60° কোণে ক্রিয়াশীল। লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে, P = 6 N, Q = 8 N, α = 60°
লব্ধির মান, R = √(P² + Q² + 2PQ cos α)
= √(6² + 8² + 2 × 6 × 8 × cos 60°)
= √(36 + 64 + 48) = √148 ≈ 12.17 N
লব্ধির দিক, tan θ = (8 sin 60°) / (6 + 8 cos 60°) = (6.928) / (6 + 4) = 0.6928
θ = tan⁻¹(0.6928) ≈ 34.72°
উত্তর: লব্ধির মান 12.17 N এবং দিক 6 N বলের সাথে 34.72° কোণে।
সমস্যা ২: দুটি সমান মানের বলের লব্ধির মান এদের যেকোনো একটি বলের সমান হলে, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান: ধরি, P = Q = R
আমরা জানি, R² = P² + Q² + 2PQ cos α
⇒ P² = P² + P² + 2P² cos α
⇒ P² = 2P² + 2P² cos α
⇒ -P² = 2P² cos α
⇒ cos α = -1/2 ⇒ α = cos⁻¹(-0.5) = 120°
উত্তর: বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 120°।
সমস্যা ৩: দুটি বলের বৃহত্তম লব্ধি 17 N এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি 7 N। বলদ্বয় পরস্পরের সাথে সমকোণে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?
সমাধান: সর্বোচ্চ লব্ধি, P + Q = 17 --- (১)
সর্বনিম্ন লব্ধি, P - Q = 7 --- (২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই: 2P = 24 ⇒ P = 12 N
সমীকরণ (১) হতে পাই: Q = 17 - 12 = 5 N
সমকোণে (α = 90°) লব্ধির মান, R = √(P² + Q²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 N
উত্তর: লব্ধির মান 13 N।
সমস্যা ৪: 5 N ও 10 N মানের দুটি বলের লব্ধি 5√3 N হলে, বলদ্বয়ের অন্তর্বর্তী কোণ কত?
সমাধান: দেওয়া আছে, P = 5 N, Q = 10 N, R = 5√3 N
R² = P² + Q² + 2PQ cos α
⇒ (5√3)² = 5² + 10² + 2 × 5 × 10 × cos α
⇒ 75 = 25 + 100 + 100 cos α
⇒ 75 - 125 = 100 cos α ⇒ -50 = 100 cos α
⇒ cos α = -0.5 ⇒ α = 120°
উত্তর: অন্তর্বর্তী কোণ 120°।
সমস্যা ৫: একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুটি বলের লব্ধি ক্ষুদ্রতর বলটির সাথে সমকোণে অবস্থান করে। লব্ধির মান বৃহত্তর বলের মানের অর্ধেক হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান: ধরি, ক্ষুদ্রতর বল = P, বৃহত্তর বল = Q।
শর্তমতে, θ = 90° এবং R = Q/2।
tan 90° = (Q sin α) / (P + Q cos α) ⇒ P + Q cos α = 0 ⇒ cos α = -P / Q
আবার সমকোণী ত্রিভুজ সূত্রানুসারে: R² + P² = Q²
⇒ (Q/2)² + P² = Q² ⇒ P² = Q² - Q²/4 = 3Q²/4 ⇒ P = (√3/2) Q
cos α = - (√3/2 Q) / Q = -√3/2 ⇒ α = cos⁻¹(-√3/2) = 150°
উত্তর: বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 150°।
সমস্যা ৬: দুটি ভেক্টর A এবং B এর মান যথাক্রমে 3 একক এবং 4 একক। এদের লব্ধির মান 5 একক হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান: এখানে P = 3, Q = 4, R = 5
লক্ষ্য করি, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
যেহেতু R² = P² + Q², তাই ভেক্টরদ্বয় পিথাগোরাসের উপপাদ্য সিদ্ধ করে।
সুতরাং মধ্যবর্তী কোণ α = 90°।
উত্তর: ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 90°।
সমস্যা ৭: একটি কণার ওপর 10 N মানের দুটি সমান বল পরস্পরের সাথে 90° কোণে ক্রিয়া করছে। এদের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে, P = 10 N, Q = 10 N, α = 90°
R = √(P² + Q²) = √(10² + 10²) = √200 = 10√2 ≈ 14.14 N
tan θ = Q / P = 10 / 10 = 1 ⇒ θ = 45°
উত্তর: লব্ধির মান 14.14 N এবং দিক যেকোনো একটি বলের সাথে 45° কোণে।
সমস্যা ৮: দুটি বলের মান যথাক্রমে 7 N এবং 8 N। এদের লব্ধি 13 N হলে বল দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান: P = 7 N, Q = 8 N, R = 13 N
R² = P² + Q² + 2PQ cos α
⇒ 13² = 7² + 8² + 2 × 7 × 8 × cos α
⇒ 169 = 49 + 64 + 112 cos α
⇒ 169 - 113 = 112 cos α ⇒ 56 = 112 cos α
⇒ cos α = 56 / 112 = 0.5 ⇒ α = 60°
উত্তর: মধ্যবর্তী কোণ 60°।
সমস্যা ৯: দুটি বলের মানের যোগফল 16 N এবং তাদের লব্ধির মান 8 N। লব্ধিটি ক্ষুদ্রতর বলের উপর লম্ব হলে বলদ্বয়ের মান কত?
সমাধান: ধরি, P + Q = 16 (যেখানে P < Q)
লব্ধি P-এর উপর লম্ব (θ = 90°), তাই P + Q cos α = 0 ⇒ Q cos α = -P
R² = P² + Q² + 2PQ cos α ⇒ R² = P² + Q² + 2P(-P) = Q² - P²
8² = (Q - P)(Q + P)
⇒ 64 = (Q - P) × 16 ⇒ Q - P = 4
এখন, Q + P = 16 এবং Q - P = 4 সমীকরণ দুটি সমাধান করে পাই:
Q = 10 N এবং P = 6 N
উত্তর: বলদ্বয়ের মান যথাক্রমে 6 N এবং 10 N।
সমস্যা ১০: একটি কণার ওপর একই সাথে 4 N ও 3 N মানের দুটি বল যথাক্রমে পূর্ব ও উত্তর দিকে ক্রিয়া করছে। লব্ধির মান ও দিক বের কর।
সমাধান: পূর্ব ও উত্তর দিক পরস্পরের সাথে 90° কোণে অবস্থিত (α = 90°)।
P = 4 N (পূর্ব), Q = 3 N (উত্তর)
লব্ধির মান, R = √(4² + 3²) = √25 = 5 N
দিক, tan θ = Q / P = 3 / 4 = 0.75 ⇒ θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°
উত্তর: লব্ধির মান 5 N এবং দিক পূর্ব দিকের সাথে 36.87° উত্তর কোণে।
সমস্যা ১১: কোনো বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুটি বলের সর্বোচ্চ লব্ধি 14 N এবং সর্বনিম্ন লব্ধি 2 N। লব্ধির মান 10 N হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান: P + Q = 14 এবং P - Q = 2 ⇒ P = 8 N, Q = 6 N
এখন R = 10 N হলে,
10² = 8² + 6² + 2 × 8 × 6 × cos α
⇒ 100 = 64 + 36 + 96 cos α
⇒ 100 = 100 + 96 cos α ⇒ 96 cos α = 0 ⇒ cos α = 0 ⇒ α = 90°
উত্তর: মধ্যবর্তী কোণ 90°।
সমস্যা ১২: P + Q = R এবং P + Q = R হলে, P ও Q ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্বর্তী কোণ কত?
সমাধান: ভেক্টর লব্ধি R² = P² + Q² + 2PQ cos α
দেওয়া আছে, R = P + Q ⇒ R² = (P + Q)² = P² + Q² + 2PQ
তুলনা করে পাই: 2PQ cos α = 2PQ ⇒ cos α = 1 ⇒ α = 0°
উত্তর: অন্তর্বর্তী কোণ 0° (ভেক্টরদ্বয় একই দিকে সমান্তরাল)।
সমস্যা ১৩: P + Q = R এবং P² + Q² = R² হলে P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান: R² = P² + Q² + 2PQ cos α
শর্তানুসারে R² = P² + Q² বসিয়ে পাই:
P² + Q² = P² + Q² + 2PQ cos α
⇒ 2PQ cos α = 0 ⇒ cos α = 0 ⇒ α = 90°
উত্তর: মধ্যবর্তী কোণ 90°।
সমস্যা ১৪: দুটি ভেক্টরের মান যথাক্রমে 5 ও 12 একক। মধ্যবর্তী কোণ কত হলে এদের লব্ধির মান 13 একক হবে?
সমাধান: P = 5, Q = 12, R = 13
13² = 5² + 12² + 2 × 5 × 12 × cos α
⇒ 169 = 25 + 144 + 120 cos α
⇒ 169 = 169 + 120 cos α ⇒ 120 cos α = 0 ⇒ cos α = 0 ⇒ α = 90°
উত্তর: মধ্যবর্তী কোণ 90°।
সমস্যা ১৫: P এবং 2P মানের দুটি বলের লব্ধি প্রথম বলটির ওপর লম্ব। বল দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান: এখানে প্রথম বল = P, দ্বিতীয় বল Q = 2P, এবং θ = 90°
tan 90° = (2P sin α) / (P + 2P cos α)
⇒ P + 2P cos α = 0 ⇒ 2P cos α = -P ⇒ cos α = -1/2
⇒ α = cos⁻¹(-0.5) = 120°
উত্তর: মধ্যবর্তী কোণ 120°।
সমস্যা ১৬: যদি দুটি একক ভেক্টরের সমষ্টি একটি একক ভেক্টর হয়, তবে তাদের বিয়োগফলের মান কত?
সমাধান: ধরি |A| = 1, |B| = 1 এবং |A + B| = 1
1² = 1² + 1² + 2(1)(1) cos α ⇒ 1 = 2 + 2 cos α ⇒ cos α = -1/2 (α = 120°)
এখন বিয়োগফলের মান |A - B| = √(A² + B² - 2AB cos α)
= √(1 + 1 - 2(1)(1)(-1/2)) = √(1 + 1 + 1) = √3 ≈ 1.732
উত্তর: বিয়োগফলের মান √3।
সমস্যা ১৭: 3 N এবং 4 N মানের দুটি বলের লব্ধি 1 N হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান: এখানে P = 3 N, Q = 4 N, R = 1 N
লক্ষ্য করি, R = 4 - 3 = 1 N (যা সর্বনিম্ন লব্ধি R_min = Q - P)
সর্বনিম্ন লব্ধির ক্ষেত্রে অন্তর্বর্তী কোণ α = 180°।
উত্তর: মধ্যবর্তী কোণ 180°।
সমস্যা ১৮: 12 N ও 5 N মানের দুটি বল একটি বস্তুর ওপর একই সাথে ক্রিয়াশীল। লব্ধির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান কত হতে পারে?
সমাধান: দেওয়া আছে, P = 12 N, Q = 5 N
সর্বোচ্চ লব্ধি (R_max) = P + Q = 12 + 5 = 17 N (যখন α = 0°)
সর্বনিম্ন লব্ধি (R_min) = P - Q = 12 - 5 = 7 N (যখন α = 180°)
উত্তর: সর্বোচ্চ মান 17 N এবং সর্বনিম্ন মান 7 N।
সমস্যা ১৯: 10 N মানের দুটি সমান বলের লব্ধি 10 N হলে বলদ্বয় কত কোণে হেলে আছে?
সমাধান: P = 10 N, Q = 10 N, R = 10 N
R² = P² + Q² + 2PQ cos α
⇒ 10² = 10² + 10² + 2 × 10 × 10 × cos α
⇒ 100 = 200 + 200 cos α ⇒ -100 = 200 cos α
⇒ cos α = -0.5 ⇒ α = 120°
উত্তর: বলদ্বয় 120° কোণে হেলে আছে।
সমস্যা ২০: P ও Q দুটি ভেক্টরের লব্ধি R। যদি Q-এর দিক উল্টে দেওয়া হয়, তবে লব্ধির মান হয় S। প্রমাণ কর যে, R² + S² = 2(P² + Q²)।
সমাধান: প্রথম ক্ষেত্রে লব্ধি R:
R² = P² + Q² + 2PQ cos α --- (১)
Q-এর দিক উল্টে দিলে মধ্যবর্তী কোণ হয় (180° - α)।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে লব্ধি S:
S² = P² + Q² + 2PQ cos(180° - α) = P² + Q² - 2PQ cos α --- (২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:
R² + S² = (P² + Q² + 2PQ cos α) + (P² + Q² - 2PQ cos α)
⇒ R² + S² = 2P² + 2Q² = 2(P² + Q²)
উত্তর: [প্রমাণিত]