📌 সূচিপত্র (Table of Contents)
1. ভেক্টর ও স্কেলার রাশি
ভেক্টর রাশি (Vector Quantity): যেসব ভৌত রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয়, তাদেরকে ভেক্টর রাশি বলে।
উদাহরণ: বেগ, ত্বরণ, বল, ভরবেগ, কৌণিক সরণ, কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ, টর্ক, কৌণিক ভরবেগ, কেন্দ্রমুখী ত্বরণ, অভিকর্ষজ ত্বরণ, সান্দ্রতা, তড়িৎ ও চৌম্বক প্রাবল্য, চৌম্বক ভ্রামক, বলের ভ্রামক, বলের ঘাত, সরণ ইত্যাদি।
স্কেলার রাশি (Scalar Quantity): যেসব ভৌত রাশিকে প্রকাশ করার জন্য কেবল মানের প্রয়োজন হয়, দিকের প্রয়োজন হয় না, তাদেরকে স্কেলার রাশি বলে।
উদাহরণ: দৈর্ঘ্য, দ্রুতি, জড়তার ভ্রামক, চক্রগতির ব্যাসার্ধ, কাজ, শক্তি, ক্ষমতা, কর্মদক্ষতা, স্থিতিস্থাপকতা, তরঙ্গদৈর্ঘ্য, কম্পাঙ্ক, বিস্তার, ঘনত্ব, আয়তন, ক্ষেত্রফল, শব্দের তীব্রতা ও প্রাবল্য, তাপমাত্রা, আপেক্ষিক তাপ, তাপধারক ক্ষমতা, সুপ্ততাপ, প্রতিসরাঙ্ক, চার্জ, বিভব, রোধ, ধারকত্ব, তড়িৎ প্রবাহ ইত্যাদি।
2. বিভিন্ন প্রকার ভেক্টর ও সংজ্ঞা
সমান ভেক্টর (Equal Vector): একই দিকে ক্রিয়াশীল দুটি সমজাতীয় ও সমমানের ভেক্টর রাশিকে সমান ভেক্টর বলে।
বিপরীত বা ঋণাত্মক ভেক্টর (Opposite/Negative Vector): বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল দুটি সমজাতীয় ও সমমানের ভেক্টর রাশিকে বিপরীত ভেক্টর বলে।
স্বাধীন ভেক্টর (Free Vector): কোনো ভেক্টর রাশির পাদবিন্দু কোথায় হবে তা যদি ইচ্ছামতো ঠিক করা যায়, তবে তাকে স্বাধীন ভেক্টর বলে।
সীমাবদ্ধ ভেক্টর (Bound Vector): যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে।
অবস্থান ভেক্টর (Position Vector): কোনো মূল বিন্দুর সাপেক্ষে অন্য কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্ণয় করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। অবস্থান ভেক্টরকে ব্যাসার্ধ ভেক্টরও বলে এবং এটি একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।
সদৃশ ভেক্টর (Like Vectors): একই দিকে ক্রিয়াশীল সমজাতীয় কিন্তু অসমমানের দুটি ভেক্টরকে সদৃশ ভেক্টর বলে।
অসদৃশ ভেক্টর (Unlike Vectors): বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল সমজাতীয় ও অসমমানের দুটি ভেক্টরকে অসদৃশ ভেক্টর বলে।
শূন্য ভেক্টর (Null/Zero Vector): যে ভেক্টরের মান শূন্য তাকে শূন্য ভেক্টর বলে। ইহার কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই এবং এটি কেবল একটি বিন্দু নির্দেশ করে।
বিপ্রতীপ বা ব্যতিহার ভেক্টর (Reciprocal Vector): দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের মান যদি একটি অপরটির বিপরীত (উল্টো) রাশি হয়, তবে তাদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে।
সমরেখ ভেক্টর (Collinear Vector): একই সরলরেখা বরাবর বা সমান্তরালে ক্রিয়াশীল একাধিক ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।
সমতলীয় ভেক্টর (Coplanar Vector): একই সমতলে ক্রিয়াশীল একাধিক ভেক্টরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।
সম-প্রারম্ভিক ভেক্টর (Co-initial Vector): একই পাদবিন্দু বিশিষ্ট ভেক্টরসমূহকে সম-প্রারম্ভিক ভেক্টর বলে।
সঠিক ভেক্টর (Proper Vector): যে সকল ভেক্টরের মান শূন্য নয়, তাদেরকে সঠিক ভেক্টর বলে।
3. ভেক্টরের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য ও সূত্রাবলি
দুটি ভেক্টরের ডট (স্কেলার) গুণফল সর্বদাই একটি স্কেলার রাশি।
দুটি ভেক্টরের ক্রস (ভেক্টর) গুণনে একটি ভেক্টর রাশি পাওয়া যায়।
দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল ভেক্টর বা স্কেলার যেকোনোটি হতে পারে।
একটি স্কেলার ও একটি ভেক্টর রাশির গুণফল সর্বদা ভেক্টর রাশি হয়।
ডট গুণন বিনিময় ও বণ্টন সূত্র মেনে চলে ($\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$)।
ক্রস গুণফল বিনিময় সূত্র মেনে চলে না ($\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A}$); তবে এটি বন্টন সূত্র মেনে চলে।
লন রোলার ঠেলা অপেক্ষা টানা সহজ।
ভেক্টর রাশির যোগ-বিয়োগ সাধারণ বীজগণিতের নিয়মে হয় না; এটি ভেক্টর বীজগণিত বা সামান্তরিকের সূত্র মতে হয়।
ত্রিভুজ সূত্র: যদি কোনো ত্রিভুজের দুটি সংলগ্ন বাহু একই ক্রমে দুটি একই জাতীয় ভেক্টরকে নির্দেশ করে, তাহলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীত ক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করবে।
4. ভেক্টর ক্যালকুলাস
গ্র্যাডিয়েন্ট (Gradient): গ্র্যাডিয়েন্ট হলো একটি ভেক্টর রাশি, যা কোনো স্কেলার ক্ষেত্রের সর্বাধিক বৃদ্ধির হার ও দিক প্রকাশ করে।
ডাইভারজেন্স (Divergence): ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি, যা অতিক্রান্ত ফ্লাক্সের পরিমাণ নির্দেশ করে।
সোলেনয়ডাল (Solenoidal): কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য হলে ($\nabla \cdot \vec{A} = 0$), উক্ত ভেক্টর ক্ষেত্রকে সোলেনয়ডাল বলা হয়।
কার্ল (Curl): কার্ল একটি ভেক্টর রাশি, যা ঘূর্ণন নির্দেশ করে।
অঘূর্ণনশীল (Irrotational): কোনো ভেক্টরের কার্ল শূন্য হলে ($\nabla \times \vec{A} = \vec{0}$), উক্ত ভেক্টর ক্ষেত্রটিকে অঘূর্ণনশীল বলা হয়।
অপারেটর (Operator): অপারেটর হলো এক ধরণের গাণিতিক নির্দেশ বা চিহ্ন (যেমন: $\nabla = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}$)।
5. টাইপভিত্তিক গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
🔹 টাইপ-১: ভেক্টরের যোগ, বিয়োগ ও মান নির্ণয়
সূত্র: $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ হলে, $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$।
প্রশ্ন: $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ হলে, $\vec{A} + \vec{B}$ এবং $\vec{A} - \vec{B}$ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
🔹 টাইপ-২: একক ভেক্টর নির্ণয়
সূত্র:
$\vec{A}$ এর দিকে একক ভেক্টর: $\hat{a} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$
$\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর লম্বদিকে একক ভেক্টর: $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$
প্রশ্ন ১: $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{B} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ হলে এদের লব্ধির দিকে একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
সমাধান:
লব্ধি, $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
প্রশ্ন ২: $\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
সমাধান:
🔹 টাইপ-৩: ভেক্টর গুণন (ডট ও ক্রস গুণন)
সূত্র:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos \theta = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$
$\vert{}\vec{A} \times \vec{B}\vert{} = A B \sin \theta$
প্রশ্ন ১: $(\vec{A} \cdot \vec{B})^2 + |\vec{A} \times \vec{B}|^2 = ?$
সমাধান:
প্রশ্ন ২: $(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot \hat{k}$ এর মান কত?
সমাধান: $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1 \quad \text{(Ans.)}$
প্রশ্ন ৩: $(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot (\hat{j} \times \hat{i})$ এর মান কত?
সমাধান: $\hat{k} \cdot (-\hat{k}) = -1 \quad \text{(Ans.)}$
প্রশ্ন ৪: যদি $\vec{A} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ হয়, তবে $\vec{A} \cdot \vec{B}$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রশ্ন ৫: $\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান:
প্রশ্ন ৬: দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল $18$ একক এবং ভেক্টর গুণফলের মান $6\sqrt{3}$ একক হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান:
🔹 টাইপ-৪: লম্ব ও সমান্তরাল ভেক্টরের প্রয়োগ
$\vec{A} \perp \vec{B}$ হলে $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \implies A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = 0$।
$\vec{A} \parallel \vec{B}$ হলে $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$।
প্রশ্ন ১: $\vec{A} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় (i) সমান্তরাল হলে এবং (ii) লম্ব হলে $a$ এর মান কত?
সমাধান:
(i) সমান্তরাল হলে: $\frac{4}{2} = \frac{-2}{a} \implies 2a = -2 \implies a = -1$
(ii) লম্ব হলে: $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \implies (4 \times 2) + (-2 \times a) + (2 \times 1) = 0 \implies 8 - 2a + 2 = 0 \implies a = 5$
প্রশ্ন ২: একটি কণার উপর $\vec{F} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}\text{ N}$ বল প্রয়োগে $\vec{r} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\text{ m}$ সরণ হয়। সম্পাদিত কাজের পরিমাণ কত?
সমাধান:
🔹 টাইপ-৫: অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ ও লম্ব অভিক্ষেপ
X-অক্ষের সাথে কোণ: $\theta_x = \cos^{-1}\left(\frac{A_x}{\vert{}\vec{A}\vert{}}\right)$
$\vec{B}$ বরাবর $\vec{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ: $A \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\vert{}\vec{B}\vert{}}$
প্রশ্ন ১: $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ ভেক্টরটির X-অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ কত?
সমাধান:
প্রশ্ন ২: $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ হলে $\vec{B}$ বরাবর $\vec{A}$ এর অভিক্ষেপ কত?
সমাধান:
🔹 টাইপ-৬: সামান্তরিকের সূত্র ও নদী-নৌকা/বৃষ্টির অঙ্ক
সূত্রসমূহ:
$R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha}$
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha}\right)$
গুরুত্বপূর্ণ শর্টকাট:
$\alpha = 0^\circ \implies R_{\text{max}} = P + Q$
$\alpha = 180^\circ \implies R_{\text{min}} = \vert{}P - Q\vert{}$
$\alpha = 90^\circ \implies R = \sqrt{P^2 + Q^2}$
$R_{\text{max}}^2 + R_{\text{min}}^2 = 2 R_{90}^2$
$P = Q$ এবং $R = P$ হলে, $\alpha = 120^\circ$
প্রশ্ন ১: $20\text{ N}$ ও $60\text{ N}$ মানের দুটি ভেক্টরের মধ্যকার কোণ $30^\circ$ হলে লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রশ্ন ২: দুই বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান $7\text{ N}$। বলদ্বয় লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধি $5\text{ N}$ হয়। লব্ধির সর্বনিম্ন মান কত?
সমাধান:
প্রশ্ন ৩: $4\text{ m/s}$ বেগে লম্বালম্বি বৃষ্টি পড়ছে। $3\text{ m/s}$ বেগে দৌড়ানো একজন লোক উলম্বের সাথে কত কোণে ছাতা ধরলে বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবে?
সমাধান:
6. অনুশীলনীর প্রশ্ন (Home Practice)
১. একটি ভেক্টর $\vec{A}$-এর শেষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1, 2, 3)$ হলে ভেক্টরটিকে স্থানাঙ্কের সাহায্যে প্রকাশ করো এবং এর পরম মান নির্ণয় করো।
(উত্তর: $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$; মান $= 3.74$)
২. $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ এর সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
(উত্তর: $\frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{29}}$)
৩. $\vec{A} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{B} = 4\hat{i} + 12\hat{j} + 2\hat{k}$। $a$ এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল হবে?
(উত্তর: $a = 6$)
৪. $a$ এর মান কত হলে $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{B} = a\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ পরস্পর লম্ব হবে?
(উত্তর: $a = 1$)
৫. কোনো বস্তুকে $10\text{ N}$ বলে দক্ষিণ দিকের সাথে $30^\circ$ কোণে পশ্চিম দিকে টানা হলে দক্ষিণমুখী ও পশ্চিমমুখী উপাংশের মান কত?
(উত্তর: $8.66\text{ N}$ এবং $5\text{ N}$)
৬. দুই বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান $7\text{ N}$ এবং সর্বনিম্ন মান $1\text{ N}$ হলে বলদ্বয়ের মান কত?
(উত্তর: $4\text{ N}$ ও $3\text{ N}$)
7. গুরুত্বপূর্ণ নৈর্ব্যক্তিক প্রশ্ন ও উত্তর (MCQs)
১. বলবিদ্যার মৌলিক ভৌত রাশি কোনটি?
(A) ভর, বল ও সময়
(B) ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়
(C) বল, শক্তি ও সময়
(D) বল, ভর ও সময়
উত্তর: B
২. যদি $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vert{}\vec{A} \times \vec{B}\vert{}$ হয়, তবে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
(A) $0^\circ$
(B) $30^\circ$
(C) $45^\circ$
(D) $90^\circ$
উত্তর: C
৩. একক ভেক্টর (Unit Vector)-এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
(A) $\hat{a} = \frac{\vec{A}}{\vert{}\vec{A}\vert{}}$
(B) $\hat{a} = \frac{\vert{}\vec{A}\vert{}}{\vec{A}}$
(C) $\hat{a} = \vec{A} \cdot \vert{}\vec{A}\vert{}$
(D) কোনটিই নয়
উত্তর: A
৪. $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$ হলে $\vec{C}$ এর দিক হবে—
(A) $\vec{A}$ বরাবর
(B) $\vec{B}$ বরাবর
(C) $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর সমতলের লম্ব বরাবর
(D) $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর সমতল বরাবর
উত্তর: C
৫. $12\text{ N}$ এবং $8\text{ N}$ মানের দুটি বলের লব্ধি নিচের কোনটি হতে পারে না?
(A) $4\text{ N}$
(B) $12\text{ N}$
(C) $20\text{ N}$
(D) $22\text{ N}$
উত্তর: D (সর্বোচ্চ লব্ধি $12+8=20\text{ N}$)
৬. $7$ ও $5$ মানের দুটি ভেক্টরের যোগফল $2$ হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
(A) $0^\circ$
(B) $90^\circ$
(C) $180^\circ$
(D) $360^\circ$
উত্তর: C
৭. দুটি ভেক্টর রাশির প্রতিটি এবং তাদের লব্ধি সমান হলে মধ্যবর্তী কোণ কত?
(A) $60^\circ$
(B) $120^\circ$
(C) $90^\circ$
(D) $180^\circ$
উত্তর: B
৮. একটি খরস্রোতা নদী সবচেয়ে কম সময়ে পার হতে কোন দিকে নৌকা চালানো উচিত?
(A) সোজা অপর পাড়ে (Directly across)
(B) কিছুটা স্রোতের প্রতিকূলে
(C) কিছুটা স্রোতের অনুকূলে
(D) কোনটিই নয়
উত্তর: A
৯. দুটি ভেক্টর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল থাকলে লব্ধির মান হয়—
(A) সর্বাধিক
(B) শূন্য
(C) সর্বনিম্ন
(D) কোনটিই নয়
উত্তর: C
১০. ভেক্টরকে ভেক্টর দ্বারা গুণ করলে গুণফল পাওয়া যায়—
(A) স্কেলার
(B) ভেক্টর
(C) কখনো স্কেলার, কখনো ভেক্টর
(D) ধ্রুবক
উত্তর: C
১১. $(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot \hat{k}$ এর মান কত?
(A) $1$
(B) $4$
(C) $0$
(D) $6$
উত্তর: A
১২. $8\text{ unit}$ ও $6\text{ unit}$ মানের দুটি ভেক্টর $30^\circ$ কোণে ক্রিয়া করলে ভেক্টর গুণফল (ক্রস গুণফল) কত?
(A) $16$
(B) $20$
(C) $24$
(D) $28$
উত্তর: C ($8 \times 6 \times \sin 30^\circ = 24$)
১৩. ভেক্টর বিভাজনের বাস্তবিক উদাহরণ কোনটি?
(A) গুণটানা নৌকার গতি
(B) পাখির উড্ডয়ন
(C) চলন্ত গাড়িতে পড়ন্ত বৃষ্টি
(D) সবকটিই
উত্তর: A
১৪. অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}$ এবং সময় $t$ হলে বেগ $\vec{v} = ?$
(A) $\frac{d\vec{r}}{dt}$
(B) $\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$
(C) $\vec{r} \cdot t$
(D) কোনটিই নয়
উত্তর: A
১৫. নিচের কোনটি স্কেলার / অধিক রাশি?
(A) ত্বরণ
(B) ক্ষমতা
(C) বল
(D) সরণ
উত্তর: B[cite: 1]
১৬. ক্ষেত্রফল (Area) কী ধরনের রাশি?[cite: 1]
(A) স্কেলার রাশি
(B) অধিক রাশি
(C) ভেক্টর রাশি (দিক নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল) [cite: 1]
(D) মৌলিক রাশি
উত্তর: C[cite: 1]
১৭. $7\text{ kg}$ ভরের বস্তুতে $\vec{F} = 14\hat{i} + 21\hat{j} - 7\hat{k}$ বল প্রয়োগ করলে ত্বরণ কত হবে?[cite: 1]
(A) $2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ [cite: 1]
(B) $3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
(C) $2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
(D) $14\hat{i} + 7\hat{j}$
উত্তর: A[cite: 1]
১৮. $\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = ?$[cite: 1]
(A) $0$ [cite: 1]
(B) $A^2 B$
(C) $A B$
(D) $1$
উত্তর: A[cite: 1]
১৯. দাঁড় ও স্রোতের বেগ যথাক্রমে $4\text{ km/h}$ ও $3\text{ km/h}$। $400\text{ m}$ চওড়া নদী সোজাসুজি পার হতে কত সময় লাগবে?[cite: 1]
(A) $6\text{ min}$ [cite: 1]
(B) $12\text{ min}$
(C) $60\text{ hr}$
(D) $16\text{ min}$
উত্তর: A ($t = \frac{0.4}{4}\text{ hr} = 0.1\text{ hr} = 6\text{ min}$)[cite: 1]